Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện từng phần:

### a) Chứng minh AM là tia phân giác của góc BAC.

1. **Đặc điểm tam giác cân:** Trong tam giác ABC cân tại A, ta có \( AB = AC \).
2. **Tia phân giác:** Tia AM sẽ là tia phân giác của góc BAC nếu tỉ số các đoạn thẳng mà nó chia ra là bằng tỉ số các cạnh đối diện.
3. **Xét M là trung điểm của BC:** Ta có \( BM = MC \).
4. **Sử dụng định lý phân giác:** Vì AM là tia phân giác, ta có:
\[
\frac{BM}{MC} = \frac{AB}{AC} = 1 \quad (\text{vì } AB = AC)
\]
5. Từ đó, ta suy ra \( AM \) là tia phân giác của góc \( BAC \).

### b) Gọi I là giao điểm của AM và BD, chứng minh CI là tia phân giác của BCA.

1. **Tia phân giác:** Ta cần chứng minh rằng tỉ số các đoạn thẳng CI và AI bằng tỉ số các cạnh đối diện.
2. **Tâm điểm của BD:** Do BD là tia phân giác, ta có:
\[
\frac{BI}{DI} = \frac{AB}{AC} = 1
\]
(do tam giác cân, \( AB = AC \)).
3. **Từ đó, ta suy ra:**
\[
\frac{CI}{AI} = \frac{BC}{AC}
\]
Do M là trung điểm của BC, ta có \( BM = MC \), và do đó \( CI \) sẽ là tia phân giác của góc BCA.

### Kết luận:
AM là tia phân giác của góc BAC; CI là tia phân giác của góc BCA.