Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ tia phân giác BD, lấy M là trung điểm của BC

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác và phân giác.

### a. Chứng minh AM là tia phân giác của \(\angle BAC\)

Giả sử tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), tức là \(AB = AC\).

1. Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), từ đó có \(BM = MC\).
2. Xét tam giác \(ABM\) và \(ACM\):
- Ta có:
- \(AB = AC\) (bởi \(ABC\) là tam giác cân)
- \(BM = MC\) (bởi \(M\) là trung điểm của \(BC\))
- \(AM\) là cạnh chung.
3. Suy ra theo tiêu chí hai cạnh và một góc:
- \(ABM \cong ACM\) (tam giác đồng dạng)
4. Từ đó suy ra:
- \(\angle ABM = \angle ACM\)
5. Do đó, ta có:
\[
\angle BAM = \angle CAM
\]
=> \(AM\) là tia phân giác của \(\angle BAC\).

### b. Chứng minh \(CI\) là tia phân giác của \(\angle BCA\)

Gọi \(I\) là giao điểm của \(AM\) và \(BD\). Ta cần chứng minh \(CI\) là tia phân giác của \(\angle BCA\).

1. Từ \(ABM \cong ACM\), ta có:
\[
\angle ABM = \angle ACM
\]
2. Xét tam giác \(BCI\):
- Ta có \(BM = MC\) (bởi \(M\) là trung điểm của \(BC\)) và \(I\) nằm trên \(AM\) (tia phân giác của \(BAC\)).
3. Do \(AM\) là tia phân giác của \(\angle BAC\), khi \(I\) là giao điểm của tia phân giác \(AM\) và \(BD\) thì có nghĩa là:
- \(BI/IC = AB/AC\)
4. Với \(AB = AC\) thì từ tỉ lệ \(BI/IC\) dẫn đến:
\[
\frac{BI}{IC} = 1
\]
=> \(BI = IC\).
5. Điều này có nghĩa là \(CI\) là tia phân giác của \(\angle BCA\).

Kết luận: Chúng ta đã chứng minh rằng \(AM\) là tia phân giác của \(\angle BAC\) và \(CI\) là tia phân giác của \(\angle BCA\) như yêu cầu của bài toán.