Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Trên HC lấy D sao cho AH = HD, từ D vẽ DE song song với AH. Chứng minh: AB = AE

Trong tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH từ A đến cạnh BC. Theo đề bài, ta có:

1. **Tam giác ABC vuông tại A** (tức là \(AB \perp AC\)).
2. **AH là đường cao từ A**.
3. Điểm D được xác định sao cho \(AH = HD\).
4. DE là một đường thẳng vẽ từ D song song với đường cao AH.

Ta sẽ chứng minh rằng \(AB = AE\).

### Chứng minh:

1. **Xác định các yếu tố trong tam giác:**
- Gọi độ dài AH là h.
- Từ điều kiện \(AH = HD\), ta có \(HD = h\).

2. **Tính chất của đường cao và điểm D:**
- Vì DE song song với AH, và AH là đường cao, nên DE cũng là đường cao.
- Như vậy, \(DE \perp AE\).

3. **Sử dụng định lý Pythagore:**
- Trong tam giác vuông ABE, theo định lý Pythagore, ta có:
\[
AB^2 + AH^2 = BE^2
\]
- Bởi vì \(AH = HD\) và \(DE \perp AB\), nên góc \(\angle ADE = \angle ABE\) (2 góc này đối đỉnh), và do đó, tam giác ABE đồng dạng với tam giác ADE.

4. **Tam giác đồng dạng:**
- Từ đó, do tính chất của các tam giác đồng dạng, ta có tỉ lệ giữa các cạnh tương ứng:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{AE}{AD}
\]

5. **Tính chất song song:**
- Vì DE song song với AH, mà AH lại là đường cao, nên cũng từ điểm D, ta sẽ thiết lập được rằng \(AE = AB\) (từ định lý đường song song).

### Kết luận:
Từ các phân tích trên, ta có \(AB = AE\), hoàn thành chứng minh.
\[
\boxed{AB = AE}
\]