Để giải bài toán về tam giác vuông ABC với đường cao AH, ta dựa vào các định lý hình học.

### a) Tính cạnh BC:

1. **Áp dụng Định lý Pythagore**:
\[
AB^2 + AC^2 = BC^2
\]

2. **Thay số**:
\[
AB = 18 \text{ cm}, \quad AC = 24 \text{ cm}
\]
\[
BC^2 = 18^2 + 24^2 = 324 + 576 = 900
\]
\[
BC = \sqrt{900} = 30 \text{ cm}
\]

### b) Chứng minh tam giác ABC \(\sim\) tam giác AHB:

1. **Xét các góc**:
- Tam giác ABC vuông tại A.
- Tam giác AHB cũng vuông tại H (vì AH là đường cao).

2. **Góc chung**:
- Cả hai tam giác đều có góc A.

3. **Hai tam giác vuông có một góc và một cạnh góc vuông tương ứng**:
- Cạnh AB tương ứng với cạnh AH.
- Cạnh AC tương ứng với cạnh BH.

Do đó, theo định lý đồng dạng tam giác:
\[
\triangle ABC \sim \triangle AHB
\]

### Kết luận:
- Cạnh BC là 30 cm.
- Chứng minh được tam giác ABC \(\sim\) tam giác AHB.