Để giải bài toán đã cho về tam giác vuông tại A, ta sẽ thực hiện từng yêu cầu một.

### a) Chứng minh tam giác ABD bằng tam giác EBD.

**Chứng minh:**

1. **Góc:**
- Ta có \( \angle ABD = \angle EBD \) (do BD là tia phân giác của góc ABC).

2. **Đoạn:**
- \( AD = AE \) (DE vuông góc với BC, tức là DE là đường cao từ D xuống BC, trong tam giác vuông ABC ta có AD = AE vì D và E đều nằm trên BC).

3. **Cạnh:**
- \( BD \) là cạnh chung của hai tam giác ABD và EBD.

Áp dụng tiêu chí \( \text{góc - cạnh - góc} \) (G-C-G), ta suy ra \( \triangle ABD \cong \triangle EBD \).

### b) Chứng minh BD là đường trung trực của đoạn thẳng AE.

**Chứng minh:**

Ta cần chứng minh rằng \( AD = DE \) và \( BD \) vuông góc với \( AE \).

1. **Tính đối xứng:**
- Từ phần a, ta đã biết \( AD = AE \).

2. **Vuông góc:**
- DE vuông góc với BC, nghĩa là DE vuông góc với AE (vì AE nằm trong mặt phẳng vuông góc với BC tại D).

Như vậy, \( BD \) là đường trung trực của đoạn thẳng AE bởi vì đường trung trực là đường đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.

### c) Chứng minh tam giác AFD là tam giác cân.

**Chứng minh:**

1. **Xác định các cạnh:**
- \( AH \) là đường cao từ A, cắt \( BD \) tại F.
- Khi A là đỉnh và H là chân đường cao, có \( AF = AH \).

2. **Cạnh:**
- Vì \( BD \) là đường trung trực, nên \( AD = DE \) đã được chứng minh.

3. **Góc:**
- \( \angle AFD = \angle ADF \) (đường cao từ đỉnh của tam giác vuông tại A).

Từ tính đối xứng và sự bằng nhau của các cạnh, ta suy ra \( \triangle AFD \) là tam giác cân với \( AF = AD \).

Như vậy, đã hoàn thành các yêu cầu của bài toán.