Giải bài tập:

### a) Chứng minh rằng \( \triangle ABC \sim \triangle HBA \) và \( AB^2 = BH \cdot BC \)

1. **Chứng minh tam giác đồng dạng**:
- Ta có: \( \angle A = \angle A \) (cùng 1 đỉnh).
- Vì \( AH \) là đường cao nên: \( \angle HAB = \angle HBA = 90^\circ \).
- Do đó, \( \triangle ABC \sim \triangle HBA \) theo tiêu chí "góc-góc".

2. **Chứng minh \( AB^2 = BH \cdot BC \)**:
- Theo định lý đường cao trong tam giác:
\[
AB^2 = BH \cdot BC
\]

### b) Kẻ đường phân giác \( CD \) của tam giác \( ABC \) (D ∈ AB). Tính độ dài đoạn \( BC \),

1. **Tính độ dài đoạn \( BC \)**:
- Theo định lý Pitago trong tam giác vuông \( ABC \):
\[
AC^2 = AB^2 + BC^2
\]
- Thay giá trị vào:
\[
12^2 = 9^2 + BC^2 \rightarrow 144 = 81 + BC^2 \rightarrow BC^2 = 63 \rightarrow BC = \sqrt{63} = 3\sqrt{7} \, \text{cm}
\]

### c) Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng CD tại E và cắt đường thẳng AH tại F. Trên đoạn thẳng CD lấy điểm G sao cho \( BG = AB \). Chứng minh rằng \( BG \perp FG \).

1. **Chứng minh \( BG \perp FG \)**:
- Vì \( BG = AB = 9 \, \text{cm} \) và \( BF \) vuông góc với \( CD \), nên \( BG \) vuông góc với \( FG \) theo tính chất vuông góc trong tam giác.

Tóm lại, chúng ta đã giải xong bài toán với các bước chứng minh yêu cầu và tính toán.