Để chứng minh MN // DF trong hình vẽ, ta sẽ sử dụng định lý tỷ lệ cạnh của tam giác.

### 1. Chứng minh MN // DF:

Trong tam giác \( \triangle ADF \), ta có các đoạn thẳng \( AM \), \( AN \) và \( DF \) là các đoạn thẳng phân chia cạnh \( AD \) và \( AF \).

Áp dụng định lý tỷ lệ cạnh:

\[
\frac{AM}{AD} = \frac{AN}{AF}
\]

Thay các giá trị vào:

- \( AM = 3 \)
- \( AD = 9 + 3 = 12 \)
- \( AN = x \)
- \( AF = 10 + 5 = 15 \)

Thay vào công thức:

\[
\frac{3}{12} = \frac{x}{15}
\]

Rút gọn \( \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \):

\[
\frac{1}{4} = \frac{x}{15}
\]

Thực hiện phép toán chéo:

\[
1 \cdot 15 = 4x \rightarrow 15 = 4x \rightarrow x = \frac{15}{4} = 3.75
\]

Vì \( AM \) // \( DF \) do đó ta khẳng định rằng MN // DF.

### 2. Tính độ dài x trong hình vẽ:

Kết quả từ phép tính ở trên đã cho ta:

\[
x = 3.75
\]

### Kết luận:

MN // DF và \( x = 3.75 \).