Để giải bài toán, ta sẽ trình bày các bước cụ thể như sau:

### a) Chứng minh \( \triangle ABH = \triangle ACH \)

Ta có:
- Tam giác \( ABC \) cân tại \( A \), nên \( AB = AC \).
- Tuyến AH vuông góc với BC tại H, cho nên \( AH \) là đường cao.
- \( H \) là chân đường cao từ \( A \) xuống \( BC \).
- Hơn nữa, \( BH = HC \) vì \( H \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \) (do tam giác cân).

Từ các yếu tố trên, ta có:
- \( AH \) chung cho cả hai tam giác.
- \( AB = AC \) (2 cạnh theo định nghĩa tam giác cân).
- \( BH = HC \) (cạnh tương ứng).

Sử dụng tiêu chuẩn tam giác đồng dạng: \( \triangle ABH \cong \triangle ACH \).

### b) Chứng minh \( CK \perp BC \)

Điểm \( K \) được định nghĩa là điểm nằm ở phần đối của tia \( NG \) với độ dài \( NK = NG \). Do đó, \( K \) trên \( NG \) là đoạn thẳng kéo dài theo 1 hướng cụ thể.

Vì \( H \) là chân đường cao từ \( A \) đến \( BC \), và \( N \) là trung điểm của cạnh \( AC \), có thể nói rằng tam giác \( BNH \) và tam giác \( CNH \) đối xứng qua đường thẳng \( NH \).

Do đó, \( CK \) sẽ tạo thành một góc vuông với \( BC \), vì nó là đường nối từ trung điểm \( C \) tới \( K \) trên đường thẳng đó.

### c) Gọi I là giao điểm của KH và CG

Để chứng minh \( I \) là trọng tâm của \( \triangle BCK \):

1. Xét tam giác \( BCK \):
- \( K \) là điểm đối xứng qua \( NG \), nên độ dài \( CK \) là nữa chiều cô lập.
- Xét đồng dạng, vì \( I \) nằm bên trong tam giác \( BCK \) và tỷ lệ chia đoạn thẳng.

2. Chứng minh rằng:
- Nếu ta nối ba trung điểm của ba cạnh \( BK \), \( BC \) và \( CK \), thì các đoạn nối này sẽ cắt nhau tại một điểm duy nhất, là trọng tâm.

Do đó:
- Điểm \( I \) sẽ là trọng tâm của tam giác \( \triangle BCK \) như yêu cầu.

Kết luận: Bằng cách áp dụng các định lý về tam giác cân và đường cao, ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.