Để tìm giá trị của \( m \) sao cho phương trình

\[
x^2 - 2x + m - 3 = 0
\]

có hai nghiệm phân biệt \( x_1 \) và \( x_2 \) thỏa mãn \( x_1 - 2x_2 = 8 \), ta tiến hành các bước sau:

1. **Xác định điều kiện có nghiệm phân biệt**:
Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi biệt thức \( \Delta \) dương:

\[
\Delta = b^2 - 4ac > 0
\]
Trong trường hợp này, \( a = 1 \), \( b = -2 \) và \( c = m - 3 \):

\[
\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m - 3) > 0 \implies 4 - 4(m - 3) > 0
\]
\[
4 - 4m + 12 > 0 \implies 16 - 4m > 0 \implies 4m < 16 \implies m < 4
\]

2. **Giải hệ phương trình về hai nghiệm**:
Gọi \( x_1 \) và \( x_2 \) là hai nghiệm của phương trình, theo điều kiện đề bài:

\[
x_1 - 2x_2 = 8 \implies x_1 = 2x_2 + 8
\]

Theo công thức Viète, ta có:

\[
x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = 2
\]
\[
x_1 x_2 = \frac{c}{a} = m - 3
\]

Thay \( x_1 = 2x_2 + 8 \) vào phương trình Viète đầu tiên:

\[
(2x_2 + 8) + x_2 = 2 \implies 3x_2 + 8 = 2 \implies 3x_2 = -6 \implies x_2 = -2
\]

Từ đó, tìm được:

\[
x_1 = 2(-2) + 8 = 4
\]

3. **Tính giá trị của \( m \)**:

Thay \( x_1 \) và \( x_2 \) vào phương trình Viète thứ hai:

\[
x_1 x_2 = 4 \cdot (-2) = -8 \implies m - 3 = -8 \implies m = -5
\]

4. **Kết luận**:

Giá trị của \( m \) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \( x_1 \) và \( x_2 \) thỏa mãn điều kiện trên là:

\[
m = -5
\]

Ngoài ra, cần kiểm tra điều kiện \( m < 4 \), thấy rằng \(-5 < 4\) là đúng, nên giá trị này thỏa mãn.

Vậy giá trị của \( m \) là \( \mathbf{-5} \).