Để chứng minh những tính chất được nêu trong bài toán, chúng ta sẽ cần sử dụng một số kiến thức về tam giác, phân giác, và các tính chất liên quan đến trực tâm.

1. **Chứng minh \( \triangle ABE \cong \triangle DBC \)**:

- Theo giả thiết, ta có:
- \( AB = DB \) (do điểm D được chọn sao cho \( DB = AB \)).
- \( AE = EC \) (vì E là điểm phân giác của góc B, nghĩa là \( \frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} \)).
- Góc \( ABE = DBC \) (do góc E xuất phát từ phân giác của góc B).

- Từ đó, ta chứng minh được rằng \( \triangle ABE \cong \triangle DBC \) theo tiêu chuẩn cạnh-cạnh-cạnh (SAS).

2. **Chứng minh E là trực tâm của tam giác BCI và tam giác CEI**:

- Có thể chỉ ra rằng:
- Tia phân giác BE cắt AC tại E. Từ đó, \( E \) là điểm trên AC.
- Nếu chúng ta kéo dài đường thẳng BE, nó sẽ gặp ta B và C.

- Ta chứng minh rằng:
- Tia BE vuông góc với CI (đường vuông góc từ điểm C đến đường thẳng AE),
- Tia BE vuông góc với BI (đường vuông góc từ điểm B đến đường thẳng AE).

- Do đó, có thể kết luận rằng \( E \) là trực tâm của cả hai tam giác \( BCI \) và \( CEI \).

Vậy từ các chứng minh trên, có thể khẳng định rằng \( \triangle ABE \cong \triangle DBC \) và E chính là trực tâm của các tam giác \( BCI \) và \( CEI \).