Để chứng minh ba điểm \( M \), \( E \), và \( K \) thẳng hàng trong tam giác vuông \( ABC \) với \( A \) là góc vuông, chúng ta có thể sử dụng quy tắc của đường tròn đường kính.

**Giả thiết:**
- Tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \).
- \( E \) là điểm tùy ý trên đoạn thẳng \( BC \) (với \( E \neq B \) và \( E \neq C \)).
- \( O \) là trung điểm của đoạn thẳng \( CE \).
- Đường tròn có đường kính \( CE \) cắt \( AC \) tại điểm \( M \) và cắt \( AE \) tại điểm \( N \).

**Chứng minh:**
1. **Tính chất đường tròn:** Vì \( M \) thuộc đường tròn đường kính \( CE \), nên theo định lý đường tròn, góc \( CED \) (với \( D \) là điểm trên chu vi của đường tròn) phải bằng \( 90^\circ \). Do đó, tam giác \( CED \) vuông tại \( D \).

2. **Góc tạo thành:** Từ đó, chúng ta có góc \( CME \) bằng \( 90^\circ \). Vì vậy, ta có góc \( CME = 90^\circ \) và góc \( AEM = 90^\circ \). Điều này có nghĩa là các góc này trở thành các góc phụ, cho phép suy ra rằng \( M \), \( E \), và \( K \) nằm trên cùng một đường thẳng.

3. **Chứng minh đẳng thức:** Ta sẽ xét góc tại điểm \( A \). Theo định nghĩa, \( K \) là điểm giao nhau của \( AE \) và đường thẳng qua \( E \) vuông góc với \( BC \). Khi đó, tam giác \( MKE \) vuông góc và \( CM \) cũng vuông góc với \( BC \). Do đó, từ những đánh giá này ta có thể thấy:
\[
\angle MKE + \angle CME = 180^\circ
\]
Vậy, ba điểm \( M \), \( E \), và \( K \) thẳng hàng.

Tóm lại, từ những tính chất của đường tròn đường kính và góc vuông, ta đã chứng minh được rằng ba điểm \( M \), \( E \), và \( K \) thẳng hàng.