Để tính giá trị của \( \frac{A}{B} \), trước tiên ta sẽ tính giá trị của \( A \) và \( B \).

### Tính giá trị của \( A \)

Chuỗi \( A \) là một chuỗi hình học:
\[
A = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots + \frac{1}{512}
\]

Đây là chuỗi từ \( \frac{1}{2} \) đến \( \frac{1}{512} \) với công bội \( r = \frac{1}{2} \). Ta có thể viết lại thành:
\[
A = \sum_{n=1}^{9} \left( \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \right) = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{8} \left( \frac{1}{2} \right)^{n}
\]

Sử dụng công thức tổng chuỗi hình học:
\[
S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r}
\]
trong đó \( a \) là số hạng đầu tiên, \( r \) là công bội, và \( n \) là số hạng. Ở đây, \( a = 1 \), \( r = \frac{1}{2} \), và \( n = 9 \):
\[
A = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^9}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - \frac{1}{512}}{\frac{1}{2}} = 1 - \frac{1}{512} = \frac{511}{512}
\]

### Tính giá trị của \( B \)

Chuỗi \( B \) được định nghĩa là:
\[
B = \frac{1}{1} + \frac{1}{1 + 2} + \frac{1}{1 + 2 + 3} + \ldots + \frac{1}{1 + 2 + \ldots + 511}
\]

Tổng \( 1 + 2 + \ldots + n \) có công thức là \( \frac{n(n+1)}{2} \). Với \( n = k \), ta có:
\[
B = \sum_{k=1}^{511} \frac{1}{\frac{k(k+1)}{2}} = \sum_{k=1}^{511} \frac{2}{k(k+1)} = 2 \sum_{k=1}^{511} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right)
\]

Tổng này sẽ rút gọn thành chuỗi đuôi:
\[
2 \left(1 - \frac{1}{512}\right) = 2 \cdot \frac{511}{512} = \frac{1022}{512}
\]

### Tính giá trị của \( \frac{A}{B} \)

Bây giờ ta có:
\[
A = \frac{511}{512}, \quad B = \frac{1022}{512}
\]

Do đó,
\[
\frac{A}{B} = \frac{\frac{511}{512}}{\frac{1022}{512}} = \frac{511}{1022}
\]

Vậy kết quả cuối cùng là:
\[
\frac{A}{B} = \frac{511}{1022}
\]