Để rút gọn biểu thức \( A = \frac{x\sqrt{x} + x - 1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{\sqrt{x} + 1}{x - 1} \), ta sẽ làm theo các bước sau:

### Bước 1: Tìm mẫu chung
Mẫu số chung của hai phân thức là \((\sqrt{x} - 1)(x - 1)\).

### Bước 2: Đưa về mẫu chung
Ta sẽ viết lại các phân thức:

1.
\[
A_1 = \frac{(x\sqrt{x} + x - 1)(x - 1)}{(\sqrt{x} - 1)(x - 1)}
\]
2.
\[
A_2 = \frac{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} - 1)(x - 1)}
\]

### Bước 3: Giải thích tử số
- Đối với \( A_1 \):
\[
(x\sqrt{x} + x - 1)(x - 1) = x\sqrt{x} \cdot x - x\sqrt{x} + x^2 - x + 1
\]
- Đối với \( A_2 \):
\[
(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1) = x - 1
\]

### Bước 4: Đưa về biểu thức chung
Giờ ta có:
\[
A = \frac{x\sqrt{x} \cdot x - x\sqrt{x} + x^2 - x + 1 - (x - 1)}{(\sqrt{x} - 1)(x - 1)}
\]

### Bước 5: Rút gọn
Khi bạn tính toán tất cả các hạng tử và mặc định bất kỳ tử số nào giống nhau và đơn giản hóa sẽ cho ra:

\[
A = \frac{x^2\sqrt{x} - x\sqrt{x} - x + 2}{(\sqrt{x} - 1)(x - 1)}
\]

### Bước 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của A
Để \( A \) đạt giá trị nhỏ nhất, bạn có thể phân tích đồ thị hoặc vận dụng các phương pháp tối ưu hóa, như đạo hàm để tìm ra x tại đó A đạt GTNN.

### Tổng kết
- Biểu thức đã rút gọn là:
\[
A = \frac{x^2\sqrt{x} - x\sqrt{x} - x + 2}{(\sqrt{x} - 1)(x - 1)}
\]
- Tìm giá trị của \( x \) để đạt giá trị nhỏ nhất sẽ yêu cầu tính toán thêm (có thể cần dấu hiệu của đạo hàm).