Để tìm độ dài đoạn \( AD \), ta sử dụng tính chất của tam giác và tỉ lệ cạnh trong tam giác.

Trong tam giác \( ABD \) và tam giác \( BCA \), ta có \( \angle ABD = \angle BCA \) (cùng một góc). Do đó, theo quy tắc tỉ lệ cạnh của hai tam giác đồng dạng, ta có:

\[
\frac{AD}{AC} = \frac{AB}{BC}
\]

Mà \( AC = 9 \, \text{cm} \) và \( AB = 6 \, \text{cm} \). Ta cần tính \( BC \) để giải bài toán.

Sử dụng tính chất của tam giác với \( AC \) (cạnh đối diện với góc \( ABD \)), ta có thể sử dụng định lý Pythagore hoặc tỉ lệ để tìm độ dài \( AD \).

1. Tính \( BC \):
Theo quy tắc tỉ lệ, từ tam giác \( ABC \):
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BC}{AD}
\]
Gọi \( AD = x \). Ta có:
\[
\frac{6}{9} = \frac{BC}{x}
\]
=> \( BC = \frac{6}{9}x = \frac{2}{3}x \).

2. Tiếp theo, dùng định lý Pythagore trên tam giác \( ABC \):
\[
AC^2 = AB^2 + BC^2
\]
Thay các giá trị đã biết vào:
\[
9^2 = 6^2 + \left(\frac{2}{3}x\right)^2
\]
\[
81 = 36 + \frac{4}{9}x^2
\]
\[
81 - 36 = \frac{4}{9}x^2
\]
\[
45 = \frac{4}{9}x^2
\]
\[
45 \cdot \frac{9}{4} = x^2
\]
\[
\frac{405}{4} = x^2
\]
\[
x = \sqrt{\frac{405}{4}} = \frac{\sqrt{405}}{2} = \frac{9\sqrt{5}}{2}
\]

Xét các lựa chọn cho độ dài \( AD \):
- A. 2 cm
- B. 3 cm
- C. 4 cm
- D. 5 cm

Kết quả là \( AD \sim 4.5 \, \text{cm} \), gần nhất với đáp án D. 5 cm.

Vậy độ dài đoạn \( AD \) là \( \boxed{5 \, \text{cm}} \).