Để chứng minh \(OA = OB\) và \(OC = OD\) trong hình thang cân \(ABCD\) với \(AB \parallel CD\) và \(AD = BC\), sử dụng một số tính chất của hình thang cân và các đường chéo.

### Bước 1: Đặt các điểm và đường chéo

Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\).

### Bước 2: Xét hai tam giác \(OAB\) và \(OCD\)

Chúng ta có:
- \(AB \parallel CD\)
- \(AD = BC\)

Từ tính chất của các đường thẳng song song và tính chất của hình thang cân, chúng ta có các cặp góc sau:

- \(\angle OAB = \angle OCD\) (góc đồng vị)
- \(\angle OBA = \angle ODC\) (góc đồng vị)

### Bước 3: Sử dụng định lý tam giác

Trong tam giác \(OAB\) và \(OCD\), vì:
- \(\angle OAB = \angle OCD\)
- \(\angle OBA = \angle ODC\)
- \(AD = BC\) (cạnh đối diện trong hình thang cân)

Chúng ta có hai tam giác \(OAB\) và \(OCD\) là đồng dạng (có các góc tương ứng bằng nhau).

### Bước 4: Suy ra độ dài của các đoạn thẳng

Quả thực, vì hai tam giác đồng dạng và cạnh đối diện của chúng bằng nhau, ta có:
\[ \frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD} \]
Tuy nhiên, do \(AD = BC\) và \(O\) là giao điểm của các đường chéo, mà chúng cắt nhau tại trung điểm, ta có:

- Từ sự đồng dạng này, điều này dẫn đến \(OA = OB\) và \(OC = OD\).

### Kết luận

Do đó, chúng ta đã chứng minh được rằng:
\[
OA = OB \quad \text{và} \quad OC = OD
\]

Điều này khẳng định rằng các đoạn thẳng từ giao điểm O đến các đỉnh của hình thang cân đều bằng nhau.