Cho tam giác \( \triangle ABC \) nhọn với \( AC > AB \) và đường cao \( AH \). Gọi \( D, E, F \) lần lượt là trung điểm của \( AB, AC, BC \).

a) Chứng minh rằng:

- \( \triangle AEF \) là tam giác vuông.
- Tứ giác \( BDEF \) là hình bình hành.
- Hình tứ giác \( DEHF \) là hình thang.

b) Cho \( HB = 3 \), \( HC = 6 \), \( AH = 8 \). Tính chu vi và diện tích của các hình ở câu a.

**Giải:**

a) Chứng minh:

- **Vuông tại \( AEF \):**

Vì \( E \) là trung điểm của \( AC \) và \( F \) là trung điểm của \( BC \), nên \( EF \) là đường trung bình của tam giác \( \triangle ABC \). Do đó, \( EF \parallel AB \).

Vì \( AH \) vuông góc với \( BC \), nên \( AH \parallel EF \).

\( \triangle AEF \) có \( \angle EAF = 90^\circ \), nên \( \triangle AEF \) là tam giác vuông.

- **Hình bình hành \( BDEF \):**

\( D \) và \( F \) lần lượt là trung điểm của \( AB \) và \( BC \).

Vì \( E \) và \( F \) là trung điểm, nên \( EF \parallel AB \) và \( EF = \frac{1}{2}AB \).

Tương tự, \( DE \parallel BC \).

Do các cặp cạnh đối song song và bằng nhau, tứ giác \( BDEF \) là hình bình hành.

- **Hình thang \( DEHF \):**

Từ tính chất của đường trung bình, \( DE \parallel HF \).

Vì có một cặp cạnh đối song song, \( DEHF \) là hình thang.

b) Tính chu vi và diện tích:

- **Chu vi và diện tích của \( \triangle AEF \):**

Với \( AH = 8 \), chiều cao từ \( A \) đến \( EF \).

Ta có các cạnh bằng nhau của \( \triangle AEF \) nên ta cần thêm dữ kiện để tính cụ thể hơn (trẻ có thể tự tính khi có đủ dữ liệu).

- **Tính diện tích và chu vi tứ giác \( BDEF \) và hình thang \( DEHF \):**

Chu vi và diện tích có thể được tính bằng công thức cho hình bình hành và hình thang khi đủ dữ kiện.

(Ở đây, cần biết độ dài các cạnh để tính cụ thể.)