Để chứng minh bất đẳng thức

\[
\frac{a^4 + b^4}{2} \geq \left( \frac{a+b}{2} \right)^4
\]

ta có thể sử dụng bất đẳng thức Jensen hoặc bất đẳng thức Muirhead.

### Chứng minh bằng bất đẳng thức Jensen

Bất đẳng thức Jensen áp dụng cho hàm lồi. Ta xét hàm \( f(x) = x^4 \), là một hàm lồi trên miền số thực.

Áp dụng bất đẳng thức Jensen cho hàm \( f \) với hai biến \( a \) và \( b \):

\[
f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{f(a) + f(b)}{2}
\]

tức là

\[
\left(\frac{a+b}{2}\right)^4 \leq \frac{a^4 + b^4}{2}
\]

Đảo ngược lại, ta có điều cần chứng minh:

\[
\frac{a^4 + b^4}{2} \geq \left( \frac{a+b}{2} \right)^4
\]

### Chứng minh bằng bất đẳng thức Muirhead

Bất đẳng thức Muirhead cho ta biết nếu hai dãy số có cùng tổng theo thứ tự không tăng thì tổ hợp đối xứng của chúng cũng theo thứ tự không tăng.

Dãy số \( (4,0) \) và \( (1,1,1,1) \) theo thứ tự không tăng, thỏa điều kiện của bất đẳng thức Muirhead, do đó bất đẳng thức là đúng.

Như vậy, bất đẳng thức đã được chứng minh.