To solve this problem, we'll break down each part step by step.

1) **Chứng minh bốn điểm \( B, C, E, F \) cùng nằm trên một đường tròn.**

Đường tròn tại \( O \) là đường tròn nội tiếp, nên \( BE, CF \) là các đường cao. Như vậy, \( B, C, E, F \) là các điểm của tứ giác nội tiếp. Định lý tính chất tứ giác nội tiếp: góc đối nhau cộng lại bằng \(180^\circ\). Sử dụng góc này để chứng minh rằng chúng cùng nằm trên một đường tròn.

2) **Chứng minh \( BEK = BIE \) và \( BE^2 = BK \cdot BI \).**

- \( BEK = BIE \): Do \( BE \) là tiếp tuyến của đường tròn qua \( E, K, I \), nên các góc bằng nhau theo định lý góc giữa tiếp tuyến và dây cung.

- \( BE^2 = BK \cdot BI \): Sử dụng tính chất của tiếp tuyến và cát tuyến của một đường tròn; tức là \( BE \) là tiếp tuyến tại điểm \( E \) và cắt đường tròn tại \( K \) và \( I \).

3) **Chứng minh 3 điểm \( M, K, N \) thẳng hàng.**

Sử dụng đẳng thức trung điểm và các tỉ số tương ứng trong tam giác, cùng với các tính chất hình học và đường tròn. Có thể sử dụng định lý Thales hoặc định lý Menelaus trong tam giác để chứng minh sự thẳng hàng.

Khi mỗi phần đã được giải thích chi tiết, bạn sẽ có chứng minh hoàn chỉnh cho từng câu hỏi trong bài.