Để chứng minh bất đẳng thức \((a^2 + b^2)^2 \geq ab(a + b)^2\), ta sẽ phân tích và biến đổi bất đẳng thức này.

Đầu tiên, hãy triển khai cả hai vế:

Vế trái:
\[
(a^2 + b^2)^2 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4
\]

Vế phải:
\[
ab(a + b)^2 = ab(a^2 + 2ab + b^2) = a^3b + 2a^2b^2 + ab^3
\]

Bất đẳng thức trở thành:
\[
a^4 + 2a^2b^2 + b^4 \geq a^3b + 2a^2b^2 + ab^3
\]

Rút gọn bất đẳng thức trên:
\[
a^4 + b^4 \geq a^3b + ab^3
\]

Ta có thể viết lại dưới dạng:
\[
a^4 - a^3b + b^4 - ab^3 \geq 0
\]

Ta nhận thấy dạng đối xứng với \(a\) và \(b\). Ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM:
\[
a^4 + b^4 \geq 2a^2b^2
\]

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
\[
2a^2b^2 \geq a^3b + ab^3
\]

Điều này tương đương với:
\[
2a^2b^2 \geq ab(a^2 + b^2)
\]

Chia cả hai vế cho \(ab\) (với giả sử \(ab \neq 0\)):
\[
2ab \geq a^2 + b^2
\]

Dễ thấy rằng, bất đẳng thức này cũng giữ đúng, vì:
\[
(a-b)^2 \geq 0 \Rightarrow a^2 - 2ab + b^2 \geq 0 \Rightarrow a^2 + b^2 \geq 2ab
\]

Vậy, bất đẳng thức đã được chứng minh.