Để tìm số tự nhiên lớn nhất có ba chữ số thỏa mãn các điều kiện cho trước, ta trình bày lời giải như sau:

Giả sử số cần tìm là \( n \), ta có:
- \( n \equiv 2 \pmod{3} \)
- \( n \equiv 4 \pmod{5} \)
- \( n \equiv 6 \pmod{7} \)

Áp dụng nguyên lý đồng dư Trung Quốc, ta giải hệ phương trình đồng dư:

Bắt đầu với:
\[ n \equiv 6 \pmod{7} \]

Biểu diễn \( n \) dưới dạng:
\[ n = 7k + 6 \]

Thay vào điều kiện:
\[ 7k + 6 \equiv 4 \pmod{5} \]
\[ 2k + 1 \equiv 4 \pmod{5} \]
\[ 2k \equiv 3 \pmod{5} \]

Do 2 và 5 là nguyên tố cùng nhau, ta tìm k thông qua nhân nghịch đảo của 2:
\[ 2k \equiv 3 \pmod{5} \]
Nghịch đảo của 2 modulo 5 là 3 (vì \( 2 \times 3 \equiv 1 \pmod{5} \)), suy ra:
\[ k \equiv 9 \equiv 4 \pmod{5} \]

Vậy:
\[ k = 5m + 4 \]

Thay vào biểu thức của \( n \):
\[ n = 7(5m + 4) + 6 = 35m + 34 \]

Áp dụng điều kiện cuối:
\[ 35m + 34 \equiv 2 \pmod{3} \]

Do \( 35 \equiv 2 \pmod{3} \) và \( 34 \equiv 1 \pmod{3} \), ta có:
\[ 2m + 1 \equiv 2 \pmod{3} \]
\[ 2m \equiv 1 \pmod{3} \]

Nghịch đảo của 2 modulo 3 là 2, nên:
\[ m \equiv 2 \equiv 2 \pmod{3} \]

Do đó:
\[ m = 3t + 2 \]

Suy ra:
\[ n = 35(3t + 2) + 34 = 105t + 104 \]

Tìm \( n \) lớn nhất có ba chữ số:
\[ 105t + 104 \leq 999 \]
\[ 105t \leq 895 \]
\[ t \leq \left\lfloor \frac{895}{105} \right\rfloor = 8 \]

Khi \( t = 8 \), \( n = 105 \times 8 + 104 = 944 \).

Vậy số tự nhiên lớn nhất thỏa mãn các điều kiện là 944.