Để giải bài toán, trước tiên ta cần xác định tọa độ các điểm trong không gian.

1. **Đặt hệ tọa độ**:
- Giả sử \( A(0,0,0) \), \( D(1,0,0) \) (do \( AD = 1 \)).
- Vì \( \triangle ABD \) là hình thoi, nên góc \( \angle DAB = 60^\circ \):
\[
B(x,y,0) \text{ thỏa } AB = 1 \text{ và } \angle DAB = 60^\circ.
\]
Điều này dẫn đến:
\[
x^2 + y^2 = 1 \text{ và } \frac{x}{1} = \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{1}{2}.
\]
Suy ra:
\[
\left( \frac{1}{2} \right)^2 + y^2 = 1 \Rightarrow y^2 = \frac{3}{4} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{3}}{2}.
\]
Do đó \( B\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right) \).

2. **Xác định điểm \( C \)**:
- \( AB = BC = CD = DA = 1 \).
- Suy ra \( C\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right) \).

3. **Các điểm \( A', B', C', D' \)**:
- Điểm \( B' \) nằm theo phương vuông góc với mặt đáy \( ABCD \), nên có tọa độ \( B'\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \sqrt{2}\right) \).
- Các điểm \( A', C', D' \) lần lượt có độ cao bằng \( B' \), nên:
- \( A'(0,0,\sqrt{2}) \)
- \( C'\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \sqrt{2}\right) \)
- \( D'(1,0,\sqrt{2}) \)

4. **Tìm điểm \( K \) trên \( BB' \)**:
- \(\vec{BK} = \left(0, 0, \frac{1}{4}\right)\cdot \sqrt{2} = \left(0, 0, \frac{\sqrt{2}}{4}\right)\), nên \( K \) có tọa độ:
\[
K\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{4}\right)
\]

5. **Xác định chiếu của \( B' \) lên \( BD \)**:
- \( H \) thuộc đường chéo \( BD \), tọa độ \( B + t(D - B) \).
- Vì là hình chiếu vuông góc, ta giải phương trình cho \( H \):
\[
H = \left(\frac{1}{2} + t\left(\frac{1}{2}\right), \frac{\sqrt{3}}{2} - t \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right) = (x, y, 0)
\]

6. **Khoảng cách giữa hai đường thẳng \( BC \) và \( DC \)**:
- Xét các điểm gốc \( B, D \) và một điểm chung \( C \).
- Sử dụng công thức khoảng cách giữa hai đường chéo không giao nhau:
- Khoảng cách \( BC \leftrightarrow DC \) tính thông qua vector pháp tuyến mặt phẳng chứa hai đường:
\[
d = \frac{| \vec{BC} \cdot (\vec{BD} \times \vec{DC}) |}{| \vec{BD} \times \vec{DC} |}
\]

Giải chi tiết qua từng bước tính giúp thu được kết quả khoảng cách cuối cùng là \( \frac{\sqrt{41}}{6} \) đơn vị, xấp xỉ 1,07 khi làm tròn đến hàng phần trăm.