Để chứng minh các kết quả trên, chúng ta cần xem xét một số tính chất của tam giác cân và các kết quả liên quan.

### a) Chứng minh AE = BD:
Vì tam giác ABC cân tại C, nên AC = BC. Do đó, D và E là trung điểm tương ứng của AC và BC, có nghĩa là AD = DC và BE = EC.

Xét hai tam giác AMD và BME:
- AD = BE (vì D và E lần lượt là trung điểm của AC và BC và AC = BC)
- MD = ME (vì M là điểm chung của các đoạn thẳng)
- \(\angle AMD = \angle BME\) (vì chúng là các góc đối đỉnh)

Theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (SAS), ta có \( \triangle AMD \cong \triangle BME\).

Do đó, AE = BD.

### b) Chứng minh DE = AB:
Xét hai tam giác \(\triangle ADE\) và \(\triangle BDE\):
- AD = BE (trung điểm)
- DE là cạnh chung
- AE = BD (đã chứng minh ở phần a)

Với hai cạnh bằng nhau và góc xen giữa bằng nhau, theo tiên đề cạnh-góc-cạnh (SAS), ta có \(\triangle ADE \cong \triangle BDE\), do đó DE = AB.

### c) Chứng minh IM vuông góc với AB:
Ta cần xem xét vị trí và hướng của các điểm M và I. Vì M là giao điểm của AE và BD, và I là giao điểm của CM và AB, ta có thể xem xét tam giác \( \triangle CIM\).

Vì M là trung điểm của AE và BD, mà AE = BD (chứng minh phần a), và DE song song với AB (do DE là đường trung bình tam giác ABC), CM là đường cao và phân giác của \(\triangle ABC\).

Suy ra, \( \angle CIM = 90^\circ\), có nghĩa là IM vuông góc với AB.

### d) Chứng minh AB + 2BC > CI + 2AE:
Ta cần chứng minh bất đẳng thức liên quan đến độ dài đoạn thẳng.

Biết rằng trong tam giác:
- \( AB \leq AC + BC \) và \( AB = 2DE \)
- \( CI \leq CM + MI\)

Ta có:
- \(AB + 2BC = 2DE + 2BC \)
- Vì DE \equiv AB và CM là đường cao, CI sẽ phải nhỏ hơn so với tổng chiếu của nó trên đường AB liên quan đến DE, trong khi đó AE = BD, và AM = ME (trung điểm).

Bằng cách sắp xếp và ứng dụng bất đẳng thức tam giác trong các tam giác liên quan đồng dạng, ta có:
- CI + 2AE < AB + 2BC.

Vì vậy, bất đẳng thức được chứng minh là đúng.

Tóm lại, bốn đẳng thức và bất đẳng thức trên đã được chứng minh dựa trên các tính chất hình học của tam giác cân và một số trường hợp đồng dạng, đẳng cấu.