Chúng ta cần tìm một giá trị của \( x \) sao cho cả hai biểu thức \( 2x + 1 \) và \( x + 1 \) đều chia hết cho \( x - 3 \). Để làm điều này, chúng ta tìm các giá trị của \( x \) bằng cách sử dụng việc tìm ước chung.

### Bước 1: Xét biểu thức \( 2x + 1 \)
Ta xét:
\[
2x + 1 \equiv 0 \pmod{x - 3}
\]

Ta thay \( x = 3 \) để kiểm tra, đưa vào:
\[
2(3) + 1 = 7
\]
Số này không bằng 0, do đó, việc chia hết không đúng ở đây với \( x = 3 \).

### Bước 2: Thu gọn điều kiện để dễ giải quyết
Nếu \( x - 3 \) là ước của cả \( 2x + 1 \) và \( x + 1 \), thì \( 2x + 1 - 2(x + 1) \) kia cũng phải chia hết cho \( x-3 \).

Ta tính:
\[
2x + 1 - 2(x + 1) = 2x + 1 - 2x - 2 = -1
\]

Từ phương trình này, thấy rằng điều kiện này xảy ra:

\[
-1 \equiv 0 \pmod{x - 3}
\]

với phương trình vô nghiệm cho tất cả các trường hợp vì \(-1\) không thể là chia hết cho số khác trừ phi số đó là 1, điều này biểu lộ rằng cả hai phương trình \( 2x + 1 \) và \( x + 1 \) có thể sẽ không có nghiệm chung với \( x-3\) là ước chung.

### Kết luận
Sau khi xét các bước trên, phương trình không cho phép chia hết đồng thời cho \( x - 3 \) với bất kỳ giá trị cụ thể nào của \( x \). Với cách tiếp cận này, có nghĩa là không tồn tại \( x \) thỏa mãn điều kiện đồng thời trên.