Để giải bài toán này, ta có biểu thức:

\[
A = \frac{1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{x}{\sqrt{x} - x}
\]

**a) Rút gọn biểu thức \(A\):**

Ta có:

\[
A = \frac{1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{x}{\sqrt{x} - x}
\]

Rút gọn phân số thứ hai:

\[
\frac{x}{\sqrt{x} - x} = \frac{x}{\sqrt{x} - x} \cdot \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{x(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - x)(\sqrt{x} + 1)}
\]

Biểu thức chung là:

\[
A = \frac{1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{x(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - x)(\sqrt{x} + 1)}
\]

Biểu thức thứ hai sẽ có dạng như sau:

\[
= \frac{x(\sqrt{x} + 1)}{-x^2 + x + \sqrt{x} + x} = \frac{x(\sqrt{x} + 1)}{-x(\sqrt{x} + 1)} = -1
\]

Do đó:

\[
A = \frac{1}{\sqrt{x} + 1} - 1
\]

**b) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = \frac{1}{\sqrt{2}}\):**

Thế \(x = \frac{1}{\sqrt{2}}\) vào biểu thức đã rút gọn:

\[
A = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{\sqrt{2}}} + 1} - 1
\]

Tính căn bậc hai:

\[
\sqrt{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{1}{\sqrt[4]{2}}
\]

Do đó:

\[
A = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt[4]{2}} + 1} - 1
\]

\[
= \frac{1}{\frac{1 + \sqrt[4]{2}}{\sqrt[4]{2}}} - 1
\]

\[
= \frac{\sqrt[4]{2}}{1 + \sqrt[4]{2}} - 1
\]

Kết quả, bạn có thể tính toán giá trị cụ thể của \(A\) với giá trị này.