Để tìm giới hạn của dãy số \( U_n \) khi \( n \to \infty \), trước tiên chúng ta cần phân tích công thức đã cho:

\[ U_n = \sqrt[n]{\frac{1 + 3 + 5 + \ldots + (2n-1)}{2n^2 + 1}} \]

Bước đầu tiên là tính tổng \( 1 + 3 + 5 + \ldots + (2n-1) \). Đây là tổng của dãy số lẻ đầu tiên, và có thể được viết lại dưới dạng:

\[ 1 + 3 + 5 + \ldots + (2n-1) = n^2 \]

Điều này là do tổng của dãy số lẻ đầu tiên \( (2n-1) \) là \( n^2 \).

Thay vào đó, ta có:

\[ U_n = \sqrt[n]{\frac{n^2}{2n^2 + 1}} \]

Khi \( n \to \infty \), phân số bên trong căn bậc \( n \) có thể được xấp xỉ bởi:

\[ \frac{n^2}{2n^2 + 1} \approx \frac{n^2}{2n^2} = \frac{1}{2} \]

Do đó:

\[ U_n = \sqrt[n]{\frac{1}{2}} \]

Và khi \( n \to \infty \), giá trị này hội tụ đến 1 bởi vì căn bậc \( n \) của bất kỳ số dương nào tiến đến 1 khi \( n \to \infty \).

Vậy giới hạn của dãy số \( U_n \) là:

\[ \lim_{n \to \infty} U_n = 1 \]