Để giải các yêu cầu này, chúng ta cần giải quyết từng điều kiện một:

a) \(6\) chia hết cho \(x\):
Điều này có nghĩa là \(x\) phải là một ước của \(6\). Các ước của \(6\) thuộc \(\mathbb{N}\) là \(1, 2, 3, 6\).

b) \(8\) chia hết cho \(x + 1\):
Điều này có nghĩa là \(x + 1\) phải là một ước của \(8\). Các ước của \(8\) là \(1, 2, 4, 8\), vậy các giá trị khả dĩ của \(x\) là \(0, 1, 3, 7\) (vì \(x = 0\) thỏa \(x + 1 = 1\), \(x = 1\) thỏa \(x + 1 = 2\), \(x = 3\) thỏa \(x + 1 = 4\) và \(x = 7\) thỏa \(x + 1 = 8\)).

c) \(10\) chia hết cho \(x - 2\):
Điều này có nghĩa là \(x - 2\) phải là một ước của \(10\). Các ước của \(10\) là \(1, 2, 5, 10\), vậy các giá trị khả dĩ của \(x\) là \(3, 4, 7, 12\) (vì \(x = 3\) thỏa \(x - 2 = 1\), \(x = 4\) thỏa \(x - 2 = 2\), \(x = 7\) thỏa \(x - 2 = 5\) và \(x = 12\) thỏa \(x - 2 = 10\)).

Bây giờ, chúng ta tìm giá trị \(x\) nào thuộc \(\mathbb{N}\) mà thỏa mãn cả ba điều kiện trên. Khi xem xét các giá trị chung đã tìm được, chúng ta thấy rằng:

- \(x = 3\) thỏa mãn cả 3 điều kiện:
- 6 chia hết cho 3.
- 8 chia hết cho \(3 + 1 = 4\).
- 10 chia hết cho \(3 - 2 = 1\).

Vậy, \(x = 3\) là giá trị duy nhất thuộc \(\mathbb{N}\) thỏa mãn tất cả các điều kiện đã cho.