Bài tập dãy số

Bài 4:
Đề bài yêu cầu tính tổng \( S_{1,11} = u_1 + u_2 + \ldots + u_{11} \), với \( u_n = \frac{1}{n(n+1)} \).

Ta có:
\[ u_n = \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \]

Tổng \( S_{1,11} \) là:
\[ S_{1,11} = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{11} - \frac{1}{12} \right) \]

Khi tính tổng, ta thấy các số hạng ở giữa triệt tiêu nhau, chỉ còn lại:
\[ S_{1,11} = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12} \]

Bài 5:
Cho dãy số \( (u_n) \) với \( u_1 = 2 \) và \( u_{n+1} = \frac{u_n + 1}{2} \).

Ta phải tính số hạng tổng quát của dãy này. Để dễ tính, ta tìm một quy luật qua vài số hạng đầu tiên.

Từ công thức truy hồi:
- \( u_1 = 2 \)
- \( u_2 = \frac{2 + 1}{2} = \frac{3}{2} \)
- \( u_3 = \frac{\frac{3}{2} + 1}{2} = \frac{5}{4} \)
- \( u_4 = \frac{\frac{5}{4} + 1}{2} = \frac{9}{8} \)

Nhận thấy mẫu số là các số mũ của 2, ta dự đoán rằng:
\[ u_n = \frac{2 + 1}{2^n} \]

Để chứng minh công thức này, ta có:

- Giả sử công thức đúng với \( n \), tức là \( u_n = \frac{2^n + 1}{2^n} \).

- \( u_{n+1} = \frac{u_n + 1}{2} = \frac{\frac{2^n + 1}{2^n} + 1}{2} = \frac{2^n + 1 + 2^n}{2 \cdot 2^n} = \frac{2^{n+1} + 1}{2^{n+1}} \).

Vậy công thức đúng với mọi \( n \).

Tổng quát của dãy số là:
\[ u_n = \frac{2^n + 1}{2^n} \]