Để chứng minh \(5n^3 + 15n^2 + 10n\) chia hết cho 30 với \(n \in \mathbb{Z}\), ta có thể biến đổi và sử dụng tính chất của số chia:

Biểu thức ban đầu là:
\[ 5n^3 + 15n^2 + 10n \]

Ta thấy rằng biểu thức có thể được chia thành:
\[ 5n(n^2 + 3n + 2) \]

Phân tích để tìm số chia chung:
\[
5n^3, 15n^2, 10n
\]
Đều chia hết cho 5. Ta cần kiểm tra xem chúng có chia hết cho 3 và 2 nữa không.

### 1. Phân tích chia hết cho 5:
Từng số hạng đã chia hết cho 5.

### 2. Phân tích chia hết cho 3:

Phân tích từng biểu thức:
\[ 15n^2 + 10n \]

- \(15n^2\) chia hết cho 3, vì hệ số là bội của 3.
- \(10n \equiv n \pmod{3}\). Để đảm bảo tổng chia hết cho 3, ta xét:
- \(n^3 \equiv n \pmod{3}\) (vì \(n(n^2 - 1)\) chia hết cho 3).

Do đó, tổng cũng chia hết cho 3.

### 3. Phân tích chia hết cho 2:

Phân tích từng biểu thức:
\[ 10n \]

- Mỗi số hạng chia hết cho 2.

Vì vậy, tất cả các số 5, 3 và 2 đều là ước số chung của biểu thức, nên biểu thức \(5n^3 + 15n^2 + 10n\) chia hết cho 30.

Vậy chứng minh hoàn tất.