Để giải bài toán, ta lần lượt thực hiện các phần a), b), c), và d):

### a) Giải phương trình:

\[
(x-2)(2x+6) = 0
\]

Để phương trình này bằng 0, một trong các yếu tố phải bằng 0:

1. \(x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2\)
2. \(2x + 6 = 0 \Rightarrow 2x = -6 \Rightarrow x = -3\)

Vậy nghiệm của phương trình là:

\[
x = 2 \quad \text{hoặc} \quad x = -3
\]

### b) Giải hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
x - y = 2 \quad (1) \\
2x + y = -5 \quad (2)
\end{cases}
\]

Từ phương trình (1), ta có:

\[
y = x - 2
\]

Thay vào phương trình (2):

\[
2x + (x - 2) = -5 \\
2x + x - 2 = -5 \\
3x - 2 = -5 \\
3x = -3 \\
x = -1
\]

Thay \(x = -1\) vào phương trình (1):

\[
-1 - y = 2 \\
-y = 3 \\
y = -3
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

\[
(x, y) = (-1, -3)
\]

### c) Giải bất phương trình:

\[
2x + 10 \geq 0
\]

Giải bất phương trình:

\[
2x \geq -10 \\
x \geq -5
\]

### d) Chứng minh bất đẳng thức:

Xét \(m \geq n\):

\[
-2m + 1 \leq -2n + 1
\]

Ta có:

\[
-2m \leq -2n \\
\Rightarrow -2m + 2n \leq 0 \\
\Rightarrow 2n - 2m \geq 0
\]

Sau khi cộng 1 vào cả hai vế, ta có:

\[
-2m + 1 \leq -2n + 1
\]

Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh.

Tóm lại:

- a) \(x = 2\) hoặc \(x = -3\)
- b) \((x, y) = (-1, -3)\)
- c) \(x \geq -5\)
- d) Đã chứng minh bất đẳng thức.