Cho

A = ( (x − 1)/(x + 3) + 2/(x − 3) + (x² + 3)/(9 − x²) ) : (−2/(2x + 1))

Điều kiện xác định:
x ≠ −3, x ≠ 3, x ≠ −1/2

a) Rút gọn A

Ta có:

9 − x² = (3 − x)(3 + x) = −(x − 3)(x + 3)

Nên:

(x² + 3)/(9 − x²) = −(x² + 3)/[(x − 3)(x + 3)]

Quy đồng mẫu (x − 3)(x + 3):

(x − 1)/(x + 3) = (x − 1)(x − 3)/[(x − 3)(x + 3)]
2/(x − 3) = 2(x + 3)/[(x − 3)(x + 3)]

Cộng ba phân thức và rút gọn tử số, ta được:

= 2(2x + 1)/[(x − 3)(x + 3)]

Vậy:

A = [2(2x + 1)/((x − 3)(x + 3))] : [−2/(2x + 1)]

Đổi phép chia thành nhân nghịch đảo:

A = [2(2x + 1)/((x − 3)(x + 3))] × [(2x + 1)/−2]

Rút gọn 2:

A = −(2x + 1)² / [(x − 3)(x + 3)]

Hay:

A = −(2x + 1)² / (x² − 9)

b) Tính A khi |x − 2| = 1

|x − 2| = 1

⇒ x − 2 = 1 hoặc x − 2 = −1
⇒ x = 3 hoặc x = 1

Nhưng x ≠ 3 (loại)

Vậy x = 1

Thay vào:

A = −(2·1 + 1)² / (1 − 9)
= −9 / (−8)
= 9/8

c) Tìm x để A > 0

A = −(2x + 1)² / (x² − 9)

Vì (2x + 1)² ≥ 0 nên dấu của A phụ thuộc vào:

− / (x² − 9)

A > 0 khi:

x² − 9 < 0
⇔ −3 < x < 3

Loại x = −1/2

Vậy nghiệm:

−3 < x < 3, x ≠ −1/2

d) Tìm x nguyên để A nhỏ nhất

Xét các giá trị nguyên trong (−3 ; 3) khác −1/2:

x = −2, −1, 0, 1, 2

Thử lần lượt:

x = −2 → A = 1
x = −1 → A = 1/8
x = 0 → A = 1/9
x = 1 → A = 9/8
x = 2 → A = 25/5 = 5

Giá trị nhỏ nhất là 1/9 khi x = 0