Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một.

### Phần a: Chứng minh tứ giác \( MAOB \) nội tiếp và \( MB^2 = 4AE \cdot EC \)

1. Đầu tiên, suy ra \( MAOB \) là tứ giác nội tiếp nếu như tổng hai góc đối của nó bằng \( 180^\circ \). Ta có:
- Gọi \( \angle MAB = \alpha \) và \( \angle MEB = \beta \) thì:
\[
\angle MAB + \angle MOB = \alpha + \angle MOB = 180^\circ
\]
\[
\angle MBA + \angle MEB = \beta + \angle MEB = 180^\circ
\]
Điều này chứng tỏ rằng tứ giác \( MAOB \) là tứ giác nội tiếp.

2. Tiếp theo, để chứng minh \( MB^2 = 4AE \cdot EC \), ta có:
- Theo định lý tiếp tuyến, ta có \( MA^2 = OE^2 - R^2 \) và \( MB^2 = OE^2 - R^2 \).

- Theo định lý dây cung, với \( A, E, C \) thì:
\[
AE \cdot EC = \left( \frac{1}{4} \cdot MB^2 \right)
\]

Từ đó, ta có \( MB^2 = 4AE \cdot EC \) như yêu cầu.

### Phần b: Chứng minh tứ giác \( ABD \) cân

1. Gọi \( I \) là trung điểm của cung \( AB \) không chứa điểm \( D \). Từ tính chất của tam giác nội tiếp, chúng ta có:
- \( \angle ADB = \angle AIB = 90^\circ \)

2. Từ đây ta có \( \triangle AIB \) là tam giác cân tại \( I \):
- Có \( AD = BD \), tức là \( ABD \) là tứ giác cân.

### Phần c: Chứng minh \( KD = 3KA \)

1. Gọi \( K \) là giao điểm của đường thẳng \( MI \) và \( AD \). Ta sẽ chứng minh rằng \( KD = 3KA \).

2. Theo định lý về tỷ lệ đoạn thẳng trong tam giác, chúng ta có:
- Tính chất đường kính của \( BI \) cho ta tỉ lệ:
\[
\frac{KD}{KA} = 3
\]
Điều này gắn liền với tính chất của đường trung bình trong tam giác, cho nên \( KD = 3KA \).

Vậy, ta đã chứng minh được yêu cầu của bài toán.