Để giải bài toán này, ta cần tìm các kích thước - chiều dài cạnh đáy (gọi là \( a \)) và chiều cao (gọi là \( h \)) của bể hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông.

### Bước 1: Thiết lập mối quan hệ

Thể tích của bể là:
\[
V = a^2 \cdot h = 108 \, m^3
\]

Từ đó, ta có thể tìm \( h \):
\[
h = \frac{108}{a^2}
\]

### Bước 2: Tính diện tích bề mặt

Diện tích bề mặt (bao gồm đáy và thành bể) sẽ là:
\[
S = a^2 + 4ah
\]
Thay \( h \) vào phương trình diện tích:
\[
S = a^2 + 4a\left(\frac{108}{a^2}\right) = a^2 + \frac{432}{a}
\]

### Bước 3: Tối ưu hóa diện tích bề mặt

Để tìm giá trị \( a \) để tối thiểu hóa diện tích \( S \), ta sẽ tính đạo hàm của \( S \) và đặt nó bằng 0:
\[
\frac{dS}{da} = 2a - \frac{432}{a^2}
\]
Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm cực trị:
\[
2a - \frac{432}{a^2} = 0
\]
Giải phương trình này:
\[
2a^3 = 432
\]
\[
a^3 = 216
\]
\[
a = 6 \, m
\]

### Bước 4: Tính chiều cao

Thay giá trị \( a \) vào phương trình để tìm \( h \):
\[
h = \frac{108}{6^2} = \frac{108}{36} = 3 \, m
\]

### Kết luận

Chiều dài cạnh đáy của bể là \( 6 \, m \) và chiều cao của bể là \( 3 \, m \) để số viên gạch dùng xây bể là ít nhất.