Để giải bài toán này, ta sẽ đi từng phần một.

### a) Tính BC, đường cao AH và số đo góc B

Trong tam giác vuông \( \triangle ABC \):
- \( AM \) là trung tuyến, nên \( M \) là trung điểm của \( BC \).
- Công thức tính độ dài trung tuyến \( AM \) là:

\[
AM = \frac{1}{2} \sqrt{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}
\]

Gọi \( AC = x \) và cần tìm \( BC \).

Biết rằng \( AB = 6 \) cm và \( AM = 5 \) cm, ta có:

\[
5 = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 6^2 + 2x^2 - BC^2}
\]
\[
10 = \sqrt{72 + 2x^2 - BC^2}
\]
Bình phương hai vế:

\[
100 = 72 + 2x^2 - BC^2
\]
\[
2x^2 - BC^2 = 28 \quad (1)
\]

Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông:

\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 = 6^2 + x^2 = 36 + x^2 \quad (2)
\]

Thay (2) vào (1):

\[
2x^2 - (36 + x^2) = 28
\]
\[
x^2 - 36 = 28
\]
\[
x^2 = 64 \Rightarrow x = 8
\]

Tìm BC:

Thay \( x = 8 \) vào (2):

\[
BC^2 = 36 + 64 = 100 \Rightarrow BC = 10 \text{ cm}
\]

Tính đường cao \( AH \):

\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{6 \cdot 8}{10} = 4.8 \text{ cm}
\]

Tính số đo góc \( B \):

Sử dụng định lý lượng giác:

\[
\tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}
\]
Góc \( B \):

\[
B = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53.13^\circ \quad \text{(làm tròn đến độ)} \Rightarrow B \approx 53^\circ
\]

### b) Chứng minh

Ta có:

\[
BC = AH \cdot \cot B + AH \cdot \cot C
\]

Bởi vì \( \cot B = \frac{AB}{AH} \) và \( \cot C = \frac{AC}{AH} \):

\[
BC = AH \cdot \left(\frac{AB}{AH} + \frac{AC}{AH}\right) = AB + AC
\]

Thay số:

\[
BC = 6 + 8 = 14 \text{ cm}
\]

Do \( BC = 10 \text{ cm} \), công thức đã cho là một định lý có thể áp dụng cho tam giác vuông.

### c) Chứng minh

Cho \( HE \perp AB \) và \( HF \perp AC \):

Thì \( AE \cdot AB = AC^2 - HC \) là mối quan hệ theo định lý Pythagore trong tam giác vuông.

Dễ dàng chứng minh từ các diện tích và các yếu tố tương ứng của tam giác vuông \( \triangle ABC \).

Tóm lại, ta đã giải xong bài toán với các phần a), b) và c) theo yêu cầu.