1. Cho a+b+c =0. CM: a^3+b^3+c^3= 3 abc
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Cách khác
Có : a + b + c = 0
=> a + b = - c
Xét : a^3+b^3+c^3 -3 abc
= ( a + b )^3 + c^3 - 3ab.( a + b ) - 3abc
= ( - c )^3 + c^3 - 3ab.( a + b + c )
= 0 - 3ab.0
= 0 - 0
= 0
=> a^3+b^3+c^3= 3 abc

Cho a+b+c =0. CM: a^3+b^3+c^3= 3 abc
----------------------------------------------------------------------
Thay a^3+b^3=(a+b)^3 -3ab(a+b) .Ta có :
a^3+b^3+c^3-3abc=0
<=>(a+b)^3 -3ab(a+b) +c^3 - 3abc=0
<=>[(a+b)^3 +c^3] -3ab.(a+b+c)=0
<=>(a+b+c). [(a+b)^2 -c.(a+b)+c^2] -3ab(a+b+c)=0
<=>(a+b+c).(a^2+2ab+b^2-ca-cb+c^2-3ab)...
<=>(a+b+c).(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0
luôn đúng do a+b+c=0

CMR: tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 là 1 số chính phương
-----------------------------------------------------------------------------------------
Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là n, n + 1, n + 2, n + 3 (n ∈ Z).
Ta có n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n(n + 3)(n + 1)(n + 2) + 1
= (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + 1 (*)
Đặt n2 + 3n = t (t ∈ N) thì (*) = t(t + 2) + 1 = t2 + 2t + 1 = (t + 1)2
= (n2 + 3n + 1)2
Vậy tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 là 1 số chính phương

1, Ta có a + b + c = 0
=> (a + b + c).(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = 0
<=> (a + b + c).(a^2 + 2ab + b^2 - ac - bc + c^2) - 3ab.(a + b + c) = 0
<=> (a + b)^3 + c^3 - 3ab(a + b + c) = 0
<=> a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0
<=> a^3 + b^3 + c^3 = 3abc (đpcm)
2, Gọi tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 là:
a.(a + 1)(a + 2)(a + 3) + 1
= a.(a + 3)(a + 1)(a + 2) + 1
= (a^2 + 3a)(a^2 + 3a + 2) + 1
Đặt a^2 + 3a = n ta có:
n.(n + 2) + 1 = n^2 + 2n + 1
= (n + 1)^2
= (a^2 + 3a + 1)^2
Vậy tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 là 1 số chính phương

CMR: tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 là 1 số chính phương
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là  x - 1; x ; x+ 1; x+ 2 
Xét :A=  ( x - 1 ).x.( x+ 1 ).( x + 2 ) + 1 
= [ ( x - 1 ).( x + 2 )].[x.( x + 1 )] +1 
= ( x^2 + x - 2 ).( x^2 + x ) + 1 
Đặt x^2 + x - 1 = a ta được :
A = ( a -1 ).( a + 1 ) + 1 
   = a^2 - 1 + 1 
   = a^2 
   = ( x ^2 + x - 1 )^2 
Vậy  tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 là 1 số chính phương