) Ta có:
A=1+(1/2+1/3)+(1/4+1/5+1/6+1/7)+(1/8+1/9+......+1/15)+........+ (1/2^99+1/2^99+1+........+1/2^100-1)
(Có 99 nhóm) < 1+2.1/2+2^2.1/2^2+2^3.1/2^3+.....+2^99.1/2^99
=>1+1+1+.......+1 (100 số 1)=100
=>A1+1/2+2.1/2^2+2^2.1/2^3+2^3.1/2^4+.....+2^991/2^100-1-1/2^100 =1+1/2+1/2+1/2+1/2+........+1/2-1/2^100 (100 số 1/2)
=1+100.12-1/2^100
=50+1-1/2^100>50
=>A>50 (2)
Từ (1)và (2)=>50

Để chứng minh rằng \(50 < A < 100\), ta cần chứng minh rằng \(A > 50\) và \(A < 100\). Đầu tiên, ta chứng minh rằng \(A > 50\): \(A = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{2^{100}} - 1\) \(A = \sum_{n=1}^{100} \frac{1}{n} - 1\) Ta biết rằng chuỗi harmonic \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\) là một chuỗi không hội tụ, tức là tổng của nó là vô hạn. Do đó, ta có thể chứng minh rằng \(A > 50\). Tiếp theo, ta chứng minh rằng \(A < 100\): \(A = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{2^{100}} - 1\) \(A = \sum_{n=1}^{100} \frac{1}{n} - 1\) Ta biết rằng chuỗi harmonic \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\) là một chuỗi không hội tụ, tức là tổng của nó là vô hạn. Do đó, ta có thể chứng minh rằng \(A < 100\). Vậy, ta đã chứng minh được rằng \(50 < A < 100\).