a/ Tứ giác AHMN có: góc BAC = 90° (vì tam giác ABC vuông tại A)
                                   góc HMA = 90° (vì HM vuông góc với AB)
                                   góc HNA = 90° (vì HN vuông góc với AC)
=> HÌnh chữ nhật AHMN
b/ Tứ giác AHCK có: AK và HC là 2 đường chéo cắt nhau tại I
                                  HI = IC (vì I là trung điểm HC)
                                  AI= IK (vì A đối xứng K qua I)
=> Hình bình hành AHCK 
=> AH // CK (Tính chất hình bình hành: Hai cạnh đối song song)
c/ Tứ giác NCKM có: AC // HK (vì hình bình hành AHCK)
=> Hình thang NCKM (1)
Hình chữ nhật AHMN có:
                AH = MN    mà AH = CK (vì hình bình hành AHCK)   nên MN = CK
Gọi giao điểm của AH và MN là O 
=> AO = OH = MO = ON 
Tam giác OHN có OH = ON (vừa chứng minh) => Tam giác OHN cân tại O
=> góc OHN = góc ONH 
Có góc MNC = góc ONH + góc HNC = góc ONH + 90 °
     góc AHK = góc OHN + góc NHK = góc OHN + 90 °
Từ hai điều trên=> góc AHK = góc MNC 
mà góc AHK = góc NCK trong hình bình hành AHCK 
nên góc MNC = góc NCK
ΔMNC và Δ NCK có
MN = CK (vừa cm)
góc MNC = góc NCK
cạnh NC chung
=> ΔMNC = Δ NCK (c-g-c)
=> MC = NK (2 cạnh tương ứng)   (2)
Từ (1),(2)=> Hình thang cân MNCK 
d/ Tam giác AHC có: AI, CO là 2 đường trung tuyến
                                 AK hay AI cắt CO tại D 
=> D là trọng tâm
=> AD = 2DI (tính chất trọng tâm) (3)
Có AD + DI =AI 
Từ hai điều trên => 3DI =AI 
mà AK = 2AI (vì AI =IK)
=> AK = 6DI (4)
Từ (3) và (4) => AK = 3AD