a) Chứng minh ( BDA’) // (B’D’C)
Ta có tứ giác BB’D’D và A’B’CD là các hình bình hành nên : BD // B’D’ và DA’ // B’C
⇒ hai mặt phẳng (BDA’) và (B’D’C) có các cặp đường thẳng cắt nhau và song song nhau từng đôi một nên chúng song song.
Vậy (BDA’) // (B’D’C).
b) Chứng minh G1 , G2 ∈ AC’
Gọi O, O’ lần lượt là tâm của hình bình hành ABCD và A’B’C’D’.
Trong mặt phẳng (AA’C’C) gọi G1 , G2 lần lượt là giao điểm của AC’ với A’O và O’C. Ta chứng minh G1, G2 lần lượt là trong tâm của ∆A’BD và ∆CB’D’.
Thật vậy, ta có ∆G1OA đồng dạng ∆G1A’C’ ( vì AC // A’C’)
⇒G1OG1A′=OAA′C′=12⇒A′G1A′O=23⇒G1OG1A′=OAA′C′=12⇒A′G1A′O=23
⇒ G1 là trọng tâm ∆A’BD.
Tương tự, G2 là trọng tâm ∆CB’D’. Vậy AC’ đi qua G1, G2 .
c) Chứng minh AG1 = G1G2 = G2C’
Theo câu trên , ta có:
AG1G1C′=AOA′C′=12AG1G1C′=AOA′C′=12 ( vì ∆G1OA đồng dạng ∆G1A’C’) ⇒AG1=13AC′⇒AG1=13AC′ (1)
Tương tự: C′G2G2A=C′O′CA=12C′G2G2A=C′O′CA=12 ( vì ∆G2C’O' đồng dạng ∆G2AC) ⇒C′G2=13AC′⇒C′G2=13AC′ (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AG1 = G1G2 = G2C’.
d)
Gọi M, N, P, Q, S, R lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD, DD’, C’D’, C’B’, B’B.
Ta có: {MN//BDSP//BD⇒MN//SP{MN//BDSP//BD⇒MN//SP
Gọi (α) = (MN, SP)
Ta có : {PQ//DC′MS//AB′⇒PQ//MS{PQ//DC′MS//AB′⇒PQ//MS
( vì DC’ // AB’)
⇒ PQ ⊂ (α) do đó Q ∈ (α).
Tương tự: QR // MN ⇒ QR ⊂ (α) do đó R ∈ (α).
Vậy M, N, P, Q, R, S ∈ (α).
Mặt khác vì {MS//AB′NP//AD′{MS//AB′NP//AD′ nên (MNPQRS) // (AB’D').