a) ΔABCΔABC có EE là trung điểm cạnh ABAB, GG là trung điểm cạnh BCBC
⇒EG⇒EG là đường trung bình ΔABCΔABC
⇒EG∥AC⇒EG∥AC hay EG∥AFEG∥AF
Và EG=12AC=AFEG=12AC=AF (do FF là trung điểm ACAC)
⇒AEGF⇒AEGF là hình bình hành (vì có cặp cạnh đối diện AF,EGAF,EG song song và bằng nhau)
Lại có ˆEAF=90oEAF^=90o
⇒AEGF⇒AEGF là hình chữ nhật.

b) ΔABCΔABC có GG là trung điểm cạnh BCBC
và FF là trung điểm cạnh ACAC
⇒GF∥AB⇒GF∥AB hay FI∥BEFI∥BE
Và GF=12AB=BEGF=12AB=BE mà GF=FI⇒BE=FIGF=FI⇒BE=FI
⇒BEIF⇒BEIF là hình bình hành ( có cặp cạnh đối diện BE,FIBE,FI song song và bằng nhau)

c) ΔABCΔABC vuông tại AA có AGAG là trung tuyến ứng với cạnh huyền BCBC
⇒AG=GC⇒AG=GC
Xét ΔΔ vuông AFGAFG và ΔΔ vuông AFIAFI có:
AFAF chung
GF=FIGF=FI (1)
⇒Δ⇒Δ vuông AFG=ΔAFG=Δ vuông AFIAFI (2 cạnh góc vuông)
⇒AG=AI⇒AG=AI (2)
Chứng minh tương tự ΔΔ vuông GFC=ΔGFC=Δ vuông CFICFI (2 cạnh góc vuông)
⇒GC=CI⇒GC=CI (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra AG=GC=CI=AI⇒AGCIAG=GC=CI=AI⇒AGCI là hình thoi.

d) Để hình thoi AGCIAGCI là hình vuông thì ˆGAI=90oGAI^=90o
⇒ˆGAF+ˆFAI=90o⇒GAF^+FAI^=90o mà ˆGAF=ˆFAIGAF^=FAI^ (do ΔGAF=ΔIAFΔGAF=ΔIAF)
⇒2ˆGAF=90o⇒2GAF^=90o
⇒ˆGAF=45o⇒GAF^=45o
mà ˆGCA=ˆGAF=45oGCA^=GAF^=45o (do ΔAGCΔAGC cân đỉnh GG)
⇒ΔABC⇒ΔABC vuông cân đỉnh AA
Vậy ΔABCΔABC vuông cân đỉnh AA thì AGCIAGCI là hình vuông.