a. Tứ giác ABCD có: AD và BC là 2 đường chéo cắt tại M
                                  MD=MA; CM = MB ( vì có AM là đường trung tuyến => M là trung điểm BC)
=> ABCD là hình bình hành
Lại có: góc BAC = 90°  ( vì ΔABC vuông tại A)
Từ hai điều trên => ABCD là hình chữ nhật
b. ΔAID có: M là trung điểm AD ( vì M là giao điểm cắt 2 đường chéo AD và BC trong hình chữ nhật ABCD)
                  H là trung điểm AI ( vì I đối xứng A qua BC)
=> MH là đường trung bình trong ΔAID=> MH // ID hay BC // ID
c. ΔABI có: BH ⊥ AI ( vì I đối xứng A qua BC nên AI ⊥ BC)
                   BH là đường trung tuyến ( vì I đối xứng A qua BC nên H là trung điểm AI)
=> ΔABI có BH là đường cao và là đường trung tuyến
=> ΔABI cân tại B (1)
=> BH là đường phân giác
Có AB // CD ( vì hình chữ nhật ABCD) => góc ABC = góc BCD ( so le trong)
      $\left.\begin{array}{r}góc ABC = góc CBI ( tính chất tia phân giác BH) \\ góc ABC = góc BCD (chứng minh trên)\end{array}\right\}$=> góc CBI = góc BCD
Từ (1) => AB = BI ( tính chất tam giác cân)
                AB = CD ( vì hình chữ nhật ABCD)
Từ hai điều trên => BI = CD
ΔCBI và ΔBCD có:        BI = CD( vừa chứng minh) 
                                      góc CBI = góc BCD ( chứng minh trên)
                                      cạnh BC chung
=> ΔCBI = ΔBCD (g - c - g)
=> CI = BD ( 2 cạnh tương ứng)
Tứ giác BIDC có: DI // BC ( chứng minh trên) => BIDC là hình thang có CI và BD là 2 đường chéo
Từ hai điều trên => BIDC là hình thang cân ( DI // BC)