a) Vì AB = AC (do ΔABCΔABC cân tại A)

BD = CE (gt)

=> AD = AE

Xét hai tam giác ABE và ACD có:

AB = AC (do ΔABCΔABC cân tại A)

AˆA^: góc chung

AD = AE (cmt)

Vậy: ΔABE=ΔACD(c−g−c)ΔABE=ΔACD(c−g−c)

Suy ra: BE = CD (hai cạnh tương ứng) (1)

ABEˆ=ACDˆABE^=ACD^ (hai góc tương ứng) (2)

ΔABCΔABC cân tại A nên B1ˆ=C1ˆB1^=C1^ (3)

Từ (2) và (3) suy ra:

ABEˆ−B1ˆ=ACDˆ−C1ˆABE^−B1^=ACD^−C1^ hay B2ˆ=C2ˆB2^=C2^

Vậy ΔBICΔBIC cân tại I, suy ra: IB = IC (4)

Từ (1) và (4) suy ra:

BE - IB = CD - IC hay IE = ID

b) Các tam giác cân ABC và ADE có chung góc ở đỉnh A nên B1ˆ=ADEˆB1^=ADE^ (hai góc đồng vị)

Do đó: BC // DE

Từ D vẽ đường thẳng song song với AC cắt BC tại F

Ta có: △△ABC cân tại A ⇒⇒ ABCˆ=ACBˆABC^=ACB^ (1)

DF//AC ⇒⇒ DF//EC ⇒⇒ {ACBˆ=DFBˆ(2)FDIˆ=IECˆ(3){ACB^=DFB^(2)FDI^=IEC^(3)

Từ (1);(2) ⇒⇒ ABCˆ=DFBˆABC^=DFB^

⇒⇒ △△DFB cân tại D

⇒⇒ BD=DF.

Mà BD=CE(gt) ⇒⇒ CE=DF.

Xét △△FDI và △△CEI có:

DF=CE(cmt)

FDIˆ=IECˆFDI^=IEC^ (cmt)

DI=IE(I là trung điểm DE)

⇒⇒ △△FDI = △△CEI (c-g-c)

⇒⇒ FIDˆ=EICˆFID^=EIC^

Ta có: DICˆ+CIEˆDIC^+CIE^ = 180o

Mà FIDˆ=EICˆFID^=EIC^ (cmt)

⇒⇒ DICˆ+DIFˆDIC^+DIF^ = 180o

⇒⇒ FICˆ=1800FIC^=1800

Hay BICˆ=1800BIC^=1800

⇒⇒ 3 điểm B,I,C thẳng hàng (đpcm)