Giải thích các bước giải:

a) Vì C thuộc đường tròn đường kính AI

⇒⇒ AC⊥CI

Vì BE⊥AC

⇒⇒ BE//CI

Tương tự: CF//BI

⇒⇒ Tứ giác BHCI là hình bình hành (đpcm)

b) Vì BHCI là hình bình hành

⇒⇒ HI và BC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

⇒⇒ M là trung điểm HI (do M là trung điểm của BC)

Xét tam giác AHI có: M, O là trung điểm của HI, AI

⇒⇒ MO là đường trung bình của tam giác HAI

⇒⇒ MO=1212AH (đpcm)

c) Xét tam giác BHD có: ˆHDB=90∘HDB^=90∘

⇒ˆBHD+ˆHBD=90∘⇒BHD^+HBD^=90∘

Tương tự: ˆHAE+ˆAHE=90∘HAE^+AHE^=90∘

Vì ˆBHD=ˆAHEBHD^=AHE^ (2 góc đối đỉnh)

⇒ˆHBD=ˆHAE⇒HBD^=HAE^

Xét △△BHD và △△ACD có:

⇒ˆHDB=ˆADC=90∘⇒HDB^=ADC^=90∘, ˆHBD=ˆHAEHBD^=HAE^ (cmt)

⇒⇒ △△BHD ∼∼ △△ACD

⇒⇒ BDAD=HDDCBDAD=HDDC

⇒⇒ DB.DC = AD.HD (đpcm)

d) Vì G là trọng tâm tam giác ABC

⇒⇒ AG=2GM

Gọi AM cắt HO tại G'

Theo định lý Talet với OM//AH ta có:

AHOM=AG′G′MAHOM=AG′G′M

⇒⇒ AG'=2G'M

⇒⇒ G≡G'

⇒⇒ H, G, O thẳng hàng (đpcm)

 xét ΔABI có AI là đường kính đường tròn (O)nên ΔABI vuông tại B

⇒AB⊥BI

Mà CF⊥AB ⇒HC//BI

tương tự ta cũng có HB//CI

Do đó Tứ giác HCIB là hình bình hành