a) Xét Δ vuông AOM và Δ vuông AON có:
      AO chung
      AM=AN (=AB/2=AC/2)
   ⇒ΔAOM=ΔAON (ch-cgv)
   ⇒OM=ON (hai cạnh tương ứng) (đpcm)

b) Do P là trung điểm của BC⇒AP là trung tuyến ΔABC đều ⇒AP cũng là đường cao ⇒AP⊥BC (1)
Mà O là giao điểm của 2 đường trung trực và P là trung điểm của BC⇒OP là đường trung trực của ΔABC⇒OP⊥BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra AP//OP (vuông góc BC)
⇒A,O,P thẳng hàng (đpcm)

c) ΔABC có O là giao của 2 đường trung trực nên O cách đều 3 đỉnh của tam giác nên OA=OC và do ΔABC đều nên đường trung trực cũng là đường phân giác nên góc OAD= góc OCE=gócA/2= gócC/2=60độ/2=30 độ
Xét ΔAOD và ΔCOEcó:
AO=OC(cmt)
gócOAD= gócOCE (cmt)
AD=CE (gt)
⇒ΔAOD=ΔCOE (c.g.c)
⇒gócDOA= gócEOC (hai góc tương ứng)
Ta có: gócDOE= gócDOA+ gócAOE
= gócEOC+ gócAOE= gócAOC=180độ −(gócOAC+gócOCA
=180độ−( gócA/2+ gócC/2)=180độ−(30độ+30độ)
Vậy gócDOE=120độ (đpcm)