+ Vì ΔABDvà ΔACE là các tam giác đều (gt).

=> {AB=AD= ; AC=AE   
BADˆ=EACˆ=60 độ{AB=AD ;AC=AE ;BAD^=EAC^=60 độ (tính chất tam giác đều).

=> BADˆ+BACˆ=EACˆ+BACˆ

=> DACˆ=BAEˆ.

Xét 2 Δ ABE và ADC có:

AB=AD(cmt)

BAEˆ=DACˆ(cmt)

AE=AC(cmt)

=> ΔABE=ΔADC(c−g−c)

=> BE=DC (2 cạnh tương ứng).

=> ABEˆ=ADC^ (2 góc tương ứng).

Hay ABNˆ=ADMˆ.

+ Vì M là trung điểm của DC(gt)

=> DM=12.DC (tính chất trung điểm) (1).

+ Vì N là trung điểm của BE(gt)

=> BN=12BE(tính chất trung điểm) (2).

Mà BE=DC(cmt) (3).

Từ (1), (2) và (3) => DM=BN.

Xét 2 Δ ADM và ABN có:

AD=AB(cmt)

ADMˆ=ABNˆ(cmt)

DM=BN(cmt)

=> ΔADM=ΔABN(c−g−c)

=> AM=AN=AN (2 cạnh tương ứng).

=> ΔAMN cân tại A (4).

+ Vì ΔADM=ΔABN(cmt)

=> DAMˆ=BANˆ (2 góc tương ứng).

=> BADˆ+BAMˆ=MANˆ+BAMˆ

=> BADˆ=MANˆ

Mà BADˆ=60 độ(cmt)

=> MANˆ=60 độ  (5).

Từ (4) và (5) => ΔAMN là tam giác đều (đpcm).