Trong trường hợp tổng quát, ta xét các ma trận hệ số A và ma trận hệ số bổ sung thêm cột các số hạng ở vế phải A' .

{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,k}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,k}\\\cdot &\cdot &\cdots &\cdot \\a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots &a_{n,k}\end{bmatrix}}}; {\displaystyle A'={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,k}&b_{1}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,k}&b_{2}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots &a_{n,k}&b_{n}\end{bmatrix}}}

Khi đó hệ có nghiệm khi và chỉ khi hạng của hai ma trận này bằng nhau.

{\displaystyle ran(A)=ran(A')=r}.

Chi tiết hơn ta có:

1. Nếu {\displaystyle r=ran(A)<ran(A')} thì hệ vô nghiệm
2. Nếu {\displaystyle ran(A)=ran(A')=r} hệ có nghiệm và
   1. Nếu {\displaystyle ran(A)=ran(A')=r=k} hệ có nghiệm duy nhất
   2. Nếu {\displaystyle ran(A)=ran(A')=r<k} hệ có vô số nghiệm phụ thuộc vào k-r ẩn tự do.

(không xảy ra trường hợp {\displaystyle r=ran(A)>ran(A')} hay {\displaystyle r=ran(A)>n})