Ta có y=x3−3x+2y=x3−3x+2⇒y′=3x2−3⇒y′=3x2−3.

Gọi x0x0 là hoành độ tiếp điểm, phương trình tiếp tuyến có dạng

y=(3x20−3)(x−x0)+x30−3x0+2y=(3x02−3)(x−x0)+x03−3x0+2

Gọi M(m;9m−14)M(m;9m−14) là điểm nằm trên đường thẳng d:y=9x−14d:y=9x−14.

Tiếp tuyến đi qua điểm MM khi và chỉ khi 9m−14=(3x20−3)(m−x0)+x30−3x0+2(1)9m−14=(3x02−3)(m−x0)+x03−3x0+2(1)

⇔(x0−2)[2x20−(3m−4)x0+8−6m]=0⇔(x0−2)[2x02−(3m−4)x0+8−6m]=0 ⇔(x0−2)[2x20−(3m−4)x0+8−6m]=0⇔(x0−2)[2x02−(3m−4)x0+8−6m]=0

⇔[x0=22x20−(3m−4)x0+8−6m=0=g(x0)(2)⇔[x0=22x02−(3m−4)x0+8−6m=0=g(x0)(2)

Yêu cầu đề bài ⇔⇔(2)(2) có hai nghiệm phân biệt có một nghiệm bằng 22 hoặc (2)(2) có nghiệm kép khác 22

⇔⇔{Δ>0g(2)=0{Δ>0g(2)=0 hoặc {Δ=0g(2)≠0{Δ=0g(2)≠0

⇔⇔⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣{9m2+24m−48>0−12m+24=0{9m2+24m−48=0−12m+24≠0[{9m2+24m−48>0−12m+24=0{9m2+24m−48=0−12m+24≠0⇔⎡⎢ ⎢ ⎢⎣m=2m=43m=−4⇔[m=2m=43m=−4.

Vậy có 33 điểm MM thỏa đề bài.