b)

Hàm số xác định trên RR

Ta có: 

y′=3x2−4x+1y′=0⇔⎡⎣x=1x=13

c) Tập xác định D=R∖{0}D=R∖{0}

y′=1−3x2=x2−3x2y′=0⇔[x=−3√x=3√y′=1−3x2=x2−3x2y′=0⇔[x=−3x=3

Bảng biến thiên:

d) Tập xác định D=R∖{0}D=R∖{0}

y′=1+2x2>0y′=1+2x2>0  với mọi x≠0x≠0

Hàm số luôn đồng biến trên các khoảng(−∞;0)(−∞;0)  và (0;+∞)(0;+∞)

e) Tập xác định D=RD=R

y′=4x3−4x=4x(x2−1)y′=0⇔⎡⎣⎢x=0x=−1x=1

f)

Hàm số xác định khi: 4−x2≥0⇔−2≤x≤24−x2≥0⇔−2≤x≤2

Tập xác định: D=[−2;2]D=[−2;2]

y′=−2x24−x2−−−−−√=−x4−x2−−−−−√y′=0⇒x=0

a) TXĐ: D=R∖{−2}D=R∖{−2}

y′=4(x+2)2>0∀x∈Dy′=4(x+2)2>0∀x∈D

Do vậy hàm số luôn nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞;−2)(−∞;−2)  và (−2;+∞)(−2;+∞)

b) TXĐ: D=R∖{−1}D=R∖{−1}

y′=(−2x−2)(x+1)−(−x2−2x+3)(x+1)2=−x2−2x−5(x+1)2=−(x+1)2+4(x+1)2<0∀x∈Dy′=(−2x−2)(x+1)−(−x2−2x+3)(x+1)2=−x2−2x−5(x+1)2=−(x+1)2+4(x+1)2<0∀x∈D

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞;−1)(−∞;−1)  và (−1;+∞)(−1;+∞)

Tập xác định: D=RD=ℝ. Đặt f(x)=|x|−−√f(x)=|x|.

Ta có: 

limx→0+f(x)−f(0)x=limx→0+x√x=limx→0+1x√=+∞limx→0−f(x)−f(0)x=limx→0−−x−−−√x=limx→0−−1−x−−−√=−∞limx→0+f(x)−f(0)x=limx→0+xx=limx→0+1x=+∞limx→0−f(x)−f(0)x=limx→0−−xx=limx→0−−1−x=−∞

Vậy hàm số không có đạo hàm tại x=0x=0.

y={x√;x≥0−x−−−√;x<0⇒y′=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪12x√;x≥0−12−x−−−√;x<0⇒{y′>0,∀x≥0y′<0,∀x<0

Ta có: y′=a−3x2y′=a−3x2

Nếu a<0a<0 thì y′=a−3x2<0∀xy′=a−3x2<0∀x. Hàm số nghịch biến trên RR

Nếu a=0a=0 thì y′=−3x2<0∀xy′=−3x2<0∀x. Hàm số nghịch biến trên RR

Nếu a>0a>0 ta có: y′=a−3x2⇒y′=0⇔⎡⎣⎢⎢⎢x=−a3−−√x=a3−−√

a) y=2x3+3x2−36x−10y=2x3+3x2−36x−10

Tập xác định: D=RD=R.

y′=6x2+6x−36;y′=0⇔[x=2x=−3y′=6x2+6x−36;y′=0⇔[x=2x=−3

b) y=x4+2x2−3y=x4+2x2−3

Tập xác định: D=RD=R.

y′=4x3+4x=4x(x2+1);y′=0⇔x=0y′=4x3+4x=4x(x2+1);y′=0⇔x=0

c) y=x+1xy=x+1x

Tập xác định: D=R∖{0}D=R∖{0}.

y′=1−1x2=x2−1x2;y′=0⇔x2−1=0⇔x=±1y′=1−1x2=x2−1x2;y′=0⇔x2−1=0⇔x=±1

d) y=x3(1−x)2y=x3(1−x)2

Tập xác định: D=RD=R.

y′=3x2(1−x)2−2x3(1−x)=x2(1−x)(3−5x);y′=0⇔⎡⎣⎢⎢x=0x=1x=35

Tập xác định: D=RD=ℝ.

Ta có: 

y′=3x2−2mx−2,y′=0⇔3x2−2mx−2=0∆′=m2+6>0,∀my′=3x2−2mx−2,y′=0⇔3x2−2mx−2=0∆′=m2+6>0,∀m

Suy ra phương trình y′=0y′=0 luôn có hai nghiệm phân biệt và y′y′ đổi dấu khi đi qua các nghiệm đó.

Do đó hàm số luôn có một cực đại và một điểm cực tiểu với mọi mm.

Tập xác định: D=RD=ℝ.

* Với a=0a=0 thì hàm số y=−9x+by=−9x+b không có cực trị.

* Với a≠0a≠0, ta có: 

y′=5a2x2+4ax−9,y′=0⇔5a2x2+4ax−9=0⇔⎡⎣⎢⎢x=−95ax=1ay′=5a2x2+4ax−9,y′=0⇔5a2x2+4ax−9=0⇔[x=−95ax=1a

+) Với a<0a<0 ta có bảng biến thiên

Vì x0=−59x0=−59 là điểm cực đại nên 1a=−59⇔a=−951a=−59⇔a=−95

Vì các cực trị của hàm số đều dương nên giá trị cực tiểu là số dương thì giá trị cực đại cũng là số dương.

yCT=y(−95a)=y(1)=5a23+2a−9+b=−365+b>0⇔b>365yCT=y(−95a)=y(1)=5a23+2a−9+b=−365+b>0⇔b>365

+) Với a>0a>0 ta có bảng biến thiên

Vì x0=−59x0=−59 là điểm cực đại nên −95a=−59⇔a=8125−95a=−59⇔a=8125

Vì các cực trị của hàm số đều dương nên giá trị cực tiểu là số dương thì giá trị cực đại cũng là số dương.

yCT=y(1a)=53a+2a−9a+b>0⇔b>400243yCT=y(1a)=53a+2a−9a+b>0⇔b>400243

Vậy ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪a=−95b>365{a=−95b>365 hoặc ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪a=8125b>400243{a=8125b>400243 thì các cực trị của hàm số đều là những số dương và x0=−59x0=−59 là điểm cực đại.

Tập xác định: D=R∖{−m}D=R∖{−m}.

Ta có: 

y′=x2+2mx+m2−1(x+m)2y′=x2+2mx+m2−1(x+m)2

Hàm số đạt cực đại tại  x=2⇒y′(2)=0⇔[m=−1m=−3x=2⇒y′(2)=0⇔[m=−1m=−3

y′′=2(x+m)3y″=2(x+m)3

+) Với  m=−1⇒y′′(2)=2>0⇒m=−1⇒y″(2)=2>0⇒ Hàm số đạt cực tiểu tại x=2⇒x=2⇒ loại.

+) Với m=−3⇒y′′(2)=−2<0⇒m=−3⇒y″(2)=−2<0⇒ Hàm số đạt cực đại tại x=2⇒x=2⇒ thỏa mãn.

Vậy m=−3m=−3 thì hàm số đạt cực đại tại x=2x=2.