b) Điều kiện xác định:

⎧⎩⎨⎪⎪sinx≠0cosx≠0sin2x≠1⇔⎧⎩⎨⎪⎪x≠kπ22x≠π2+kπ⇔⎧⎩⎨⎪⎪x≠kπ2x≠π4+kπ2{sin⁡x≠0cos⁡x≠0sin⁡2x≠1⇔{x≠kπ22x≠π2+kπ⇔{x≠kπ2x≠π4+kπ2

Vậy tập xác định của hàm số là R∖[{kπ2,k∈Z}∪{π4+kπ2,k∈Z}]R∖[{kπ2,k∈Z}∪{π4+kπ2,k∈Z}]

a) Tập xác định D=R∖{kπ,k∈Z}D=R∖{kπ,k∈Z} 

Ta có, với x∈Dx∈D thì –x∈D–x∈D và 

f(−x)=sin3(−x)−tan(−x)=−sin3x+tanx=−f(x)f(−x)=sin3(−x)−tan⁡(−x)=−sin3x+tan⁡x=−f(x)

Nên hàm số là hàm lẻ.

b) Tập xác định D=R∖{kπ2,k∈Z}D=R∖{kπ2,k∈Z}

Ta có, với x∈Dx∈D thì –x∈D–x∈D và 

f(−x)=cos(−x)+cot2(−x)sin(−x)=−cosx+cot2xsinx=−f(x)f(−x)=cos⁡(−x)+cot2(−x)sin⁡(−x)=−cos⁡x+cot2xsin⁡x=−f(x)

Nên hàm số là hàm lẻ  

a) Vẽ đồ thị hàm sốy=sin2x.y=sin⁡2x.

Hàm số y=sin2xy=sin⁡2x là hàm tuần hoàn với chu kì ππ và y=sin2xy=sin⁡2x là hàm số lẻ nên ta vẽ đồ thị của hàm số y=sin2xy=sin⁡2x trên đoạn [0;π2][0;π2] rồi lấy đối xứng qua OO, được đồ thị hàm số trên đoạn [−π2;π2][−π2;π2].

Cuối cùng tịnh tiến song song với trục OxOx các đoạn có độ dài ππ  ta được đồ thị hàm số y=sin2xy=sin⁡2x  trên RR.

b) Vẽ đồ thị hàm số y=cosx.y=cos⁡x.

(Theo dõi trang 9 SGK Đại số và Giải tích 11)
Sau đó tịnh tiến đồ thị hàm số y=cosxy=cos⁡x song song với trục hoành sang phải một đoạn bằng π6π6, ta được đồ thị hàm số y=cos(x−π6)y=cos⁡(x−π6).

1.43.

sin2x−cos2x=cos4x⇔−cos2x=cos4x⇔cos4x+cos2x=0⇔2cos3xcosx=0⇔[cos3x=0cosx=0⇔⎡⎣⎢3x=π2+kπx=π2+kπ⇔⎡⎣⎢x=π6+kπ3x=π2+kπ⇔x=π6+kπ3(k∈Z)sin2x−cos2x=cos⁡4x⇔−cos⁡2x=cos⁡4x⇔cos⁡4x+cos⁡2x=0⇔2cos⁡3xcos⁡x=0⇔[cos⁡3x=0cos⁡x=0⇔[3x=π2+kπx=π2+kπ⇔[x=π6+kπ3x=π2+kπ⇔x=π6+kπ3(k∈Z)

1. 44.

cos3x−cos5x=sinx⇔−2sin4xsin(−x)=sinx⇔2sin4xsinx−sinx=0⇔sinx(2sin4x−1)=0⇔⎡⎣sinx=0sin4x=12⇔⎡⎣⎢⎢⎢⎢x=kπ4x=π6+k2π4x=5π6+k2π⇔⎡⎣⎢⎢⎢⎢x=kπx=π24+kπ2x=5π24+kπ2(k∈Z)cos⁡3x−cos⁡5x=sin⁡x⇔−2sin⁡4xsin⁡(−x)=sin⁡x⇔2sin⁡4xsin⁡x−sin⁡x=0⇔sin⁡x(2sin⁡4x−1)=0⇔[sin⁡x=0sin⁡4x=12⇔[x=kπ4x=π6+k2π4x=5π6+k2π⇔[x=kπx=π24+kπ2x=5π24+kπ2(k∈Z)

1.45. 

3sin2x+4cosx−2=0⇔3−3cos2x+4cosx−2=0⇔3cos2x−4cosx−1=0⇔⎡⎣⎢⎢⎢cosx=2+7√3(loại)cosx=2−7√3⇔x=±arccos(2−7√3)+k2π,k∈Z3sin2x+4cos⁡x−2=0⇔3−3cos2x+4cos⁡x−2=0⇔3cos2x−4cos⁡x−1=0⇔[cos⁡x=2+73(loại)cos⁡x=2−73⇔x=±arccos⁡(2−73)+k2π,k∈Z

1.48. 
cosx=0cos⁡x=0 thỏa mãn phương trình. Suy ra x=π2+kπx=π2+kπ   là nghiệm của phương trình.
Với cosx≠0cos⁡x≠0 chia cả hai vế của phương trình cho cos2xcos2x ta được:
2−6tanx+tan2x=1+tan2x⇔6tanx=1⇔tanx=16⇔x=arctan16+kπ,k∈Z2−6tan⁡x+tan2x=1+tan2x⇔6tan⁡x=1⇔tan⁡x=16⇔x=arctan⁡16+kπ,k∈Z

1.49 

cosx=0cos⁡x=0 không thỏa mãn phương trình.

Chia cả hai vế của phương trình cho cos2xcos2⁡x ta được:

2tan2x+tanx−1=3(1+tan2x)⇔tan2x−tanx+4=02tan2x+tan⁡x−1=3(1+tan2x)⇔tan2⁡x−tan⁡x+4=0

Phương trình vô nghiệm.

1.50 

3sinx−4cosx=1⇔35sinx−45cosx=153sin⁡x−4cos⁡x=1⇔35sin⁡x−45cos⁡x=15

Đặt sinα=45;cosα=35sin⁡α=45;cos⁡α=35

Phương trình tương đương với:

cosαsinx−sinαcosx=15⇔sin(x−α)=15⇔⎡⎣⎢⎢x−α=arcsin15+k2πx−α=π−arcsin15+k2π⇔⎡⎣⎢⎢x=α+arcsin15+k2πx=π+α−arcsin15+k2π(k∈Z)cos⁡αsin⁡x−sin⁡αcos⁡x=15⇔sin⁡(x−α)=15⇔[x−α=arcsin⁡15+k2πx−α=π−arcsin⁡15+k2π⇔[x=α+arcsin⁡15+k2πx=π+α−arcsin⁡15+k2π(k∈Z)

Ta có:

4sin3x+sin5x−2sinxcos2x=0⇔4sin3x+sin5x−2.12(sin(−x)+sin3x)=0⇔4sin3x+sin5x+sinx−sin3x=0⇔3sin3x+2sin3xcos2x=0⇔sin3x(3+2cos2x)=0⇔⎡⎣sin3x=0cos2x=−32(loại)⇔3x=kπ⇔x=kπ3(k∈Z)

Bài giải

Điều kiện xác định: ⎧⎩⎨⎪⎪sinx≠0cosx≠0tanx≠−1{sin⁡x≠0cos⁡x≠0tan⁡x≠−1

Đặt tanx=ttan⁡x=t (t≠0;t≠−1)(t≠0;t≠−1)

sin2x=2t1+t2;cos2x=1−t21+t2sin2x=1−cos2x2=1−1−t21+t22=t21+t2sin⁡2x=2t1+t2;cos⁡2x=1−t21+t2sin2x=1−cos⁡2x2=1−1−t21+t22=t21+t2

Phương trình trở thành:

1t−1=1−t21+t2.11+t+t21+t2−t1+t2⇔1−tt=1−t1+t2+t21+t2−t1+t2⇔1−tt=t2−2t+11+t2⇔1−tt=(t−1)21+t2⇔(1−t)(1t−1−t1+t2)=0⇔(1−t)[2t2−t+1t(1+t2)]=0⇔[t=12t2−t+1=0(vô nghiệm)⇔tanx=1⇔x=π4+kπ,(k∈Z)1t−1=1−t21+t2.11+t+t21+t2−t1+t2⇔1−tt=1−t1+t2+t21+t2−t1+t2⇔1−tt=t2−2t+11+t2⇔1−tt=(t−1)21+t2⇔(1−t)(1t−1−t1+t2)=0⇔(1−t)[2t2−t+1t(1+t2)]=0⇔[t=12t2−t+1=0(vô nghiệm)⇔tan⁡x=1⇔x=π4+kπ,(k∈Z)

a) Điều kiện xác định của hàm số là:

⎧⎩⎨⎪⎪tan(x−π3)≠−1cos(x−π3)≠0⇔⎧⎩⎨⎪⎪x−π3≠−π4+kπx−π3≠π2+kπ⇔⎧⎩⎨⎪⎪x≠π12+kπx≠5π6+kπ(k∈Z){tan⁡(x−π3)≠−1cos⁡(x−π3)≠0⇔{x−π3≠−π4+kπx−π3≠π2+kπ⇔{x≠π12+kπx≠5π6+kπ(k∈Z)

Tập xác định của hàm số là: R∖[{5π6+kπ,k∈Z}∪{π12+kπ,k∈Z}]R∖[{5π6+kπ,k∈Z}∪{π12+kπ,k∈Z}]

b) Điều kiện xác định:

⎧⎩⎨⎪⎪sinx≠0cosx≠0sin2x≠1⇔⎧⎩⎨⎪⎪x≠kπ22x≠π2+kπ⇔⎧⎩⎨⎪⎪x≠kπ2x≠π4+kπ2{sin⁡x≠0cos⁡x≠0sin⁡2x≠1⇔{x≠kπ22x≠π2+kπ⇔{x≠kπ2x≠π4+kπ2

Vậy tập xác định của hàm số là R∖[{kπ2,k∈Z}∪{π4+kπ2,k∈Z}]R∖[{kπ2,k∈Z}∪{π4+kπ2,k∈Z}]