Bài 4: Gọi a=(α)∩(β). Mặt phẳng (P) đi qua M và vuông góc với a.

Vì a⊂(α) nên (P)⊥(α), a⊂(β) nên (P)⊥(β)

Như vậy qua M có mặt phẳng (P) vuông góc với  (α) và (β).

Ngược lại: Nếu có (P) đi qua M và vuông góc với  (α) và (β) thì (P)⊥a. Do tính duy nhất của mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước nên (P) duy nhất.

  Nếu  (α)//(β) gọi d là đường thẳng đi qua M và vuông góc với (α) khi đó ta có d⊥(β). Như vậy mọi mặt phẳng chứa d đều vuông góc với  (α) và (β). Do đó khi  (α)//(β) thì có vô số mặt phẳng (P) đi qua M và vuông góc với  (α) và (β).

Bài 5:
a) BC⊥(ABB′A′)⇒BC⊥AB′;

Mà BA′⊥AB′⇒AB′⊥(BCD′A′).

Ta có AB′⊂(AB′C′D)⇒(AB′C′D)⊥(BCD′A′).

b)  

 AA′⊥(ABCD)⇒AA′⊥BD

Mà  BD⊥AC⇒BD⊥(ACC′A′)

AC′⊂(ACC′A′) nên suy ra BD⊥AC′    (1)

  AB⊥(ADD′A′)⇒AB⊥A′D

Mà AD′⊥A′D⇒A′D⊥(ABC′D′)

Ta có AC′⊂(ABC′D′)⇒A′D⊥AC′    (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AC′⊥(A′BD).