a) Vì BI; CK cùng vuông góc với AM => BI // CK => góc MCK = góc MBI ( 2 góc so le trong)
mà có MB = MC (do M là TĐ của BC)
=> tam giác vuông MCK = MBI (cạnh huyền - góc nhọn)
=> BI = CK ( 2 canh t.ư)
+) tam giác BCK = CBI ( vì:  BC chung; góc BCK = góc CBI; CK = BI)
=> BK = CI (2 cạnh t.ư) và góc KBC = góc ICB ( 2 góc t.ư)
mà 2 góc này ở vị trí SLT
=> BK // CI
b) Gọi E là trung điểm của MC
  xét tam giác vuông MKC có: KE là trung tuyến ứng với cạnh huyền MC
=> EK = MC/ 2
 Xét tam giác vuông MNC có: NE là trung tuyến ứng với cạnh huyền MC
=> NE = MC/2
Áp dụng bất đẳng thức tam giác trong tam giác KNE có:
: KN < EK + NE = MC/ 2 + MC/ 2 = MC 
vậy KN < MC
c)
+) ta luôn có: IM = MK (theo câu a) => M là trung điểm của IK     
+)  Nếu AI = IM  mà A; I; M thẳng hàng => I là trung điểm của AM => BI là trung tuyến của tam giác BAM 
mặt khác, BI vuông góc với AM 
=> BI vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến trong tam giác BAM
=> tam giác BAM cân tại B => BA = BM mà BM = MA (do AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC)
=> tam giác BAM đều => góc BAM = 60o    
+) ta có : MA = MD (gt) mà MA = IM + IA ; IM = MK  => MD = MK + IA
mà MD = MK + KD (do MI = MK < MA = MD => K nằm giữa M và D)
=> IA = KD  => nếu AI = IM => AI = IM = MK = KD
vậy để AI = IM = MK = KD thì tam giác ABC là tam giác vuông có góc B = 60o
d) +) Tam giác MAC = tam giác MDB ( MA = MD ; góc AMC = góc DMB  do đối đỉnh; MC = MB)
=> góc DBC = góc BCA mà 2 góc này ở vị trí SLT
=> BD // AC lại có MN vuông góc với AC => MN vuông góc với BD
=> MN là là đường cao của tam giác BMD
+) Xét tam giác BMD có: BI ; DH ; MN là 3 đường cao => chúng đồng quy => đpcm