Ta có: AM vuông góc với AB => ^MAB=900,  CN vuông góc với AC => ^NAC=900 

=> ^MAB=^NAC=900 => ^MAB+^BAC=^NAC+^BAC => ^MAC=^BAN.

Xét tam giác MAC và tam giác BAN có:

AM=AB

^MAC=^BAN    => Tam giác MAC=Tam giác BAN (c.g.c)

AC=AN

=> ^AMC=^ABN (2 góc tương ứng) hay ^AMK=^ABI và MC=BN (2 cạnh tương ứng)

MC=BN => 1/2MC=1/2BN. Mà I là trung điểm của BN, K là trung điểm của MC => MK=KC=BI=IN.

Xét tam giác MAK và tam giác BAI có:

MK=BI

^AMK=^ABI    => Tam giác MAK=Tam giác BAI (c.g.c)

AM=AB

=> AK=AI (2 cạnh tương ứng) (đpcm)

=> ^MAK=^BAI (2 góc tương ứng)  => ^MAB+^BAK=^IAK+^BAK => ^MAB=^IAK (Bớt 2 vế đi ^BAK)

Mà ^MAB=900 => ^IAK=900 => AI vuông góc với AK (đpcm)

TH2: M nằm trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C, N nằm trên nửa mặt phẳng bờ AC có chứa điểm B.

Ta có: ^BAM=^BAC+^CAM=900 (1)

          ^CAN=^BAC+^NAB=900 (2)

Từ (1) và (2) => ^BAC+^CAM=^BAC+^NAB => ^CAM=^NAB (Bớt 2 vế đi ^BAC)

Xét tam giác CAM và tam giác NAB có:

AM=AB

^CAM=^NAB     => Tam giác CAM=Tam giác NAB (c.g.c)

AC=AN

=> ^AMC=^ABN (2 góc tương ứng) hay ^AMK=^ABI và CM=NB (2 cạnh tương ứng)

CM=NB => 1/2CM=1/2NB => MK=KC=BI=IN.

Xét tam giác AMK và tam giác ABI có:

AM=AB

^AMK=^ABI    => Tam giác AMK=Tam giác ABI (c.g.c)

MK=BI

=> AK=AI (2 cạnh tương ứng) (đpcm) và ^MAK=^BAI (2 góc tương ứng)

Ta có: ^BAC+^CAK+^MAK=^BAM=900. Thay ^MAK=^BAI vào biểu thức bên, ta được:

          ^BAC+^CAK+BAI=900 => ^IAK=900 (Cộng góc) => AI vuông góc với AK (đpcm)